Prueba de la ortogonalidad de las funciones de onda del átomo de hidrógeno

Question

¿Cómo se puede demostrar formalmente la ortogonalidad de las funciones de onda del átomo de hidrógeno?

Entiendo que la parte angular es ortogonal, y sé que la parte radial es ortogonal si el número cuántico $l$ es el mismo para ambos términos radiales, es decir, tenemos $R_{n,\ell},R_{n',\ell}$ (ver post relacionado ). Y como esto viene dado por la ortogonalidad angular, el resultado es el siguiente.

Lo que me falta es la demostración formal, y también alguna referencia sobre el hecho de que al integrar la parte radial, los dos Laguerres tienen argumentos diferentes, es decir, la integral no es $$\int_0^\infty \rho^{\alpha}e^{-\rho}L_n^{(\alpha)}(\rho)L_m^{(\alpha)}(\rho)d\rho$$ como en Wikipedia, pero cada función de onda proporciona una $\rho$ según el nivel de energía $n$ a través de $\rho=\frac{2r}{na_0}$ . Esto parece traducirse en un cambio no trivial en la expresión de la integral.

También estuve mirando la fórmula de Rodríguez, y parece que la diferencia de argumentos se traduce en un cambio no trivial de estos términos también.

Por eso busco una prueba exhaustiva y detallada de la ortogonalidad de la parte radial, suponiendo $\ell=\ell'$ de los armónicos esféricos, que no he podido encontrar buscando en Google o a través de nuestros apuntes de clase.

Answer 1

Tienes un punto no trivial en que la relación de ortogonalidad para los polinomios de Laguerre como aparecen en las eigenfunciones hidrogénicas, $$ \int_0^\infty L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}(2r/n)L_{n'-\ell-1}^{(2\ell+1)}(2r/n') e^{-\frac{n+n'}{nn'}r} r^{2\ell+2} \mathrm dr = 0 \qquad \text{for }n\neq n', $$ es estructuralmente muy diferente a la relación de ortogonalidad estándar, $$ \int_0^\infty L_{n}^{(2\ell+1)}(r)L_{n'}^{(2\ell+1)}(r) e^{-r} r^{2\ell+1} \mathrm dr = 0 \qquad \text{for }n\neq n', $$ como se establece, por ejemplo, en Wikipedia o el DLMF .

Como se ha señalado en los comentarios, la ortogonalidad de las funciones de onda hidrogénicas se deduce directamente de la teoría general de Sturm-Liouville (son funciones propias de un operador hermitiano de Sturm-Liouville con diferentes valores propios y eso es todo lo que se necesita), de modo que una demostración elemental de la relación de ortogonalidad alterada parece un poco una pérdida de tiempo.

Sin embargo, eso obviamente no ha impedido que otras personas lo busquen - un ejemplo adecuado parece ser

La ortogonalidad del polinomio de Laguerre y el átomo de hidrógeno. Charles F. Dunkl. arXiv:math-ph/0011021 .

Answer 2

Se puede demostrar que el operador $H=\Delta + \frac{1}{r}$ es esencialmente autoadjunto en un dominio que contiene las funciones propias $\psi_{nlm}$ . Esto significa, en particular, que es simétrico para cualquier $\psi_{nlm}$ y $\psi_{n'lm}$ . De aquí se desprende la normalidad de los diferentes eigenspaces como es habitual, como para cualquier operador simétrico o autoadjunto.

Los argumentos implicados son un poco tediosos, pero en su mayor parte utilizan técnicas básicas del espacio de Hilbert. Véase, por ejemplo, el capítulo 9 del libro de mecánica cuántica de Brian C. Hall, especialmente las secciones 9.8 y 9.9.