Suma de diferentes cantidades físicas

Question

Todos conocemos la regla de las "manzanas y las naranjas", que dice que no tiene sentido sumar o restar dos cantidades diferentes como las manzanas y las naranjas. Pero la misma regla no es válida para la multiplicación y la división. Así que mi pregunta es, ¿por qué no se pueden sumar dos cantidades con unidades diferentes pero sí se permite la multiplicación de las mismas y cómo se expresa esto matemáticamente?

Answer 1

Supongo que podría reunir mis comentarios en una respuesta.

En realidad, estás haciendo implícitamente dos preguntas:

1. si tiene sentido matemático sumar diferentes cantidades; y
2. si hace tiene sentido que no se encuentre más a menudo en la física.

La respuesta a la pregunta 1. es positiva en algunos casos, especialmente cuando se trata de frutas. La estructura se llama grupo abeliano libre . Es esencialmente una copia de enteros para cada fruta con la adición definida por componentes: $(5a + 2o) + (2a + 3o) = (7a + 5o)$ y así sucesivamente. Del mismo modo, se pueden formalizar otros conceptos de adición de diferentes cantidades. También se puede introducir la multiplicación y hablar de anillos polimoniales $K[x,y,\dots,z]$ (donde se entiende que las variables representan unidades) o tomar el campo de las fracciones de eso, o incluso introducir la no conmutatividad. Hay muchas estructuras matemáticas que pueden acomodar todas las operaciones que se necesitan en la física (y más).

Así que llegamos al punto 2. Hemos visto que es posible para añadir diferentes cantidades. Pero eso te dice nada sobre si una operación así es útil. En particular, cuando se habla de operaciones elementales utilizadas en problemas físicos para llegar a un resultado que es siempre una cantidad bien definida con unidades. Afirmo que esta es la razón por la que no usamos en física nada más que la adición de cantidades con las mismas unidades porque queremos tener unidades razonables en cada paso del cálculo.

Nótese que esto también es consistente con la toma de productos de diferentes cantidades porque esta operación no estropea el hecho de que en cada paso de la derivación tenemos una unidad bien definida de la expresión.

Answer 2

Es que el proceso de multiplicación de unidades está bien definido; es la forma en que se definen las nuevas unidades. Por ejemplo, tomemos un cuadrado de lado $a=1\text{ m}$ . Para encontrar el área $A$ del cuadrado se cuadra el lado, $$ A=a^2=(1\text{ m})^2=1 \text{ m}^2. $$ Eso define el metro cuadrado, una unidad de superficie. Si tuvieras un rectángulo con un lado $b=1\text{ m}$ y otro lado $c=1\text{ ft}$ entonces todavía se puede encontrar la zona $A^\prime$ del rectángulo simplemente multiplicando $b$ con $c$ : $$ A^\prime=bc=(1\text{ m})\cdot(1\text{ ft})=1\text{ m}\cdot\text{ft}. $$ Esto define una nueva unidad de área, el $\text{m}\cdot\text{ft}$ que está perfectamente bien, pero no es muy intuitivo para trabajar.

La adición o sustracción de cantidades con unidades sólo se permite si las cantidades tienen las mismas unidades, simplemente porque en el proceso de adición o sustracción las unidades son espectadoras, es decir, se factorizan. Por ejemplo, tomemos un segmento de línea de longitud $\ell_1=1\text{ m}$ y un segmento de línea de longitud $\ell_2=2\text{ m}$ . La longitud total de los dos segmentos de línea es $$ \ell=\ell_1+\ell_2=(1\text{ m})+(2\text{ m})=(1+2)\text{ m}=3\text{ m}. $$ Si no pudieras factorizar las unidades, no podrías pasar del paso 2 al 3.

Answer 3

Contamos, adimensional. Podemos medir, adimensional. Cualquier medida es una relación de dos cantidades: La cantidad que se desee medir, se divide por la cantidad de un estándar. A la norma que debemos atribuir un nombre como el de metro y regular de una manera precisa para definir. Cuando medimos la masa hacemos un recuento de barions como encontrar aquí:
sección II. EN las UNIDADES, las LEYES de la FÍSICA Y la ESCALA, el inciso A. En cantidades y unidades y Atómica medidas son el número de cuenta

Cuando añadimos medidas que añadir números puros. Y el papel de las unidades? Es un recordar de qué norma fue elegido para representar a ellos y el grado de la dimensión (Longitud L,el Tiempo T,la Carga-Q,de Masa M,Temperatura). La temperatura y las medidas de los ángulos son puros números, por definición, no una relación. Como un ejemplo, $m^3$ tiene el tamao $L^3$, un volumen. No tiene ningún sentido la adición de un volumen con un área o una temperatura con un ángulo. Podemos añadir las cantidades de la misma especie (dimensión y grado); una clase de fruta o 'objeto' o 'contenido de su bolsa de" permitir el recuento de ambas manzanas y las naranjas en la misma bolsa. Podemos agregar X metros Y decímetros, el resultado es todavía una cantidad de longitud. La adición de cantidades de diferente clase, digamos a y B, dan un resultado que pertenecen a una tercera clase (ni Una ni B).
Citando el documento mencionado:

"Comencemos por las cantidades de longitud y tiempo; la longitud del geométricas, estática, concepto; el tiempo es un concepto vinculado al flujo de las apariciones, al contrario de la estática; son, claramente, distintos conceptos".

Se puede añadir la longitud de la cantidad a un tiempo la cantidad? No.
"Las unidades de Base no son independientes", es decir, la longitud, tiempo, masa y carga de las unidades son interdependientes; la velocidad de la luz y el átomo de propiedades de interconexión de ellos:

Tiempo y las unidades de longitud son vinculados a través de la velocidad de la luz. Por lo tanto, mientras que los conceptos de longitud y tiempo son independientes, sus unidades no son. Esto tiene consecuencias en la descripción de la universo; por ejemplo, el espacio-tiempo relativista es una propiedad de la descripción de el universo, el uso de tales unidades y un marco de referencia calibrado por el método descrito por Einstein

La multiplicación es una suma (sólo repite N veces), por ejemplo, de 5m x 3 = 15 m y de 5m x 3m = 15 $m^2$ (dimensión $L^2$). La división de las magnitudes de la misma naturaleza es una medida.

(el autor de la anterior artículo reciente, es un amigo mío y comentarios son bienvenidos y, si es pertinente, voy hacia adelante. Lo siento por la mala inglés.)

Answer 4

La multiplicación es posible, porque también se multiplica unidades de medida . En otras palabras, si se multiplican 2 manzanas por 3 naranjas, lo que se obtiene no es un simple 6, sino, 6 manzanas-naranja . Asimismo, si divides 6 manzanas entre 2 naranjas, obtienes 3 manzanas/naranjas. Esto tiene mucho sentido ya que por cada naranja, hay 3 manzanas . Pero al sumar o restar números, en realidad no se puede sumar o restar unidades de medida .

Answer 5

No se utiliza en Física AFAIK, al menos no de manera formal, pero se podría escribir $$5\,\mathrm{apples} + 2\,\mathrm{oranges}=7 (\mathrm{apple\,or\,orange}\!)\!\mathrm{s},$$ o $$5\,\mathrm{men} + 2\,\mathrm{women}=7\,\mathrm{people}.$$ Es decir, se inventan objetos que contienen otros objetos. Sin embargo, puedo imaginar que puede haber extensiones no equivalentes de los axiomas ordinarios de la aritmética.

Cualquier matemática puede ser útil en el futuro para la física. Hay muchas matemáticas que no se utilizan en la actualidad en la física, pero descartar algo sin más parece una temeridad.