$L^2$ límite de las variables aleatorias gaussianas

Question

Dejemos que $X_n$ sea una secuencia de variables aleatorias gaussianas definidas en el mismo espacio de probabilidad.

La afirmación es que si $X_n$ converge a alguna variable aleatoria $X$ en $L^2$ -sentido, entonces $X$ también es gaussiano.

Creo que es posible hacerlo con las funciones características; pero tengo curiosidad por saber cuál es la forma más sencilla de verlo.

Answer 1

De hecho, esto se puede deducir utilizando las funciones características, y la suposición de convergencia en $\mathbb L^2$ puede relajarse hasta la convergencia en la distribución.

En primer lugar, suponemos que $\mathbb E[X_n]=0$ y $\mathbb E[X_n^2]=1$ para cada $n$ .

Entonces tenemos que demostrar que $X$ es normal estándar. Para ello, nótese que para una $\varepsilon$ la desigualdad $$\mathbb P\{X\leqslant t\}\leqslant \mathbb P\{X_n\leqslant t+\varepsilon \} +\mathbb P\{|X_n -X|\gt \varepsilon\} =\mathbb P\{\mathcal N\leqslant t+\varepsilon\}+ \mathbb P\{|X_n -X|\gt \varepsilon\},$$ donde $\mathcal N$ denota una variable aleatoria cuya distribución es normal estándar.

Por el $\mathbb L^2$ convergencia, el último término converge a $0$ y como $\varepsilon$ es arbitraria, obtenemos $$\mathbb P (X\leqslant t)\leqslant\mathbb P\{\mathcal N\leqslant t\}.$$ De forma similar, deducimos que $$\mathbb P (X\geqslant t)\leqslant\mathbb P\{\mathcal N\geqslant t\}.$$ Desde $\mathbb P\{\mathcal N=t\}=0$ para cada $t$ derivamos $$\mathbb P\{X \leqslant t\}\leqslant \mathbb P\{\mathcal N\leqslant t\} =1-\mathbb P\{\mathcal N\geqslant t\} \leqslant 1-\mathbb P\{X\geqslant t\} \leqslant \mathbb P\{X\leqslant t\},$$ por lo que $X$ es el estándar normal.

En general, $\mathbb E[X_n]=m_n$ y $\mathbb E[X_n^2]= \sigma_n^2$ . Desde $X_n\to X$ en $\mathbb L^1$ la secuencia $(m_n)_{ n\geqslant 1}$ es convergente (digamos que a $m$ ), y por la convergencia en $\mathbb L^2$ derivamos la convergencia de la secuencia $(\sigma_n^2)_{ n\geqslant 1}$ a algunos $\sigma^2$ . Aplicamos el caso anterior a $X'_n:=(X_n-m_n)/\sigma_n$ y $X:(X-m)/\sigma$ .