Por qué el grupo de simetría de la fuerza electrodébil $SU(2) \times U(1)$ y no $U(2)$ ?

Question

Permítanme decir primero que soy un lego que está tratando de entender la teoría de grupos y la teoría gauge, así que discúlpenme si mi pregunta no tiene sentido.

Antes de la ruptura de simetría, la fuerza electrodébil tiene 4 grados de libertad ( $B^0$ , $W^1$ , $W^2$ y $W^3$ ¿verdad?) y tras la ruptura de la simetría, nos quedamos con la débil $SU(2)$ bosones ( $W^+$ , $W^-$ , $Z$ ) y el fotón. ¿Por qué, entonces, el grupo de simetría antes de la ruptura de la simetría electrodébil $SU(2) \times U(1)$ y no sólo $U(2)$ (Dado que un grupo unitario de $n$ La dimensión contiene $n^2$ grados de libertad) ¿Qué me falta?

Answer 1

¡Buena pregunta! La respuesta corta es que el grupo no es $SU(2)\times U(1)$ Es decir, es $SU(2)_L \times U(1)_{em}$ . En otras palabras, los dos grupos actúan de forma diferente sobre las distintas partículas del modelo estándar. Por ejemplo, el neutrino de la mano izquierda interactúa débilmente y por eso se transforma bajo el $SU(2)_L$ pero es eléctricamente neutro, por lo que no se transforma bajo el $U(1)_{em}$ . Por lo tanto, no se pueden combinar los dos grupos como se cree que se puede hacer ingenuamente.

Answer 2

En realidad tenemos el siguiente isomorfismo del álgebra de Lie

$$\tag{1}u(2)~\cong~ u(1)\oplus su(2),$$

y existe el siguiente isomorfismo de grupo de Lie

$$\tag{2} U(2)~\cong~[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2 ,$$

Véase, por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

En otras palabras, hay un mapa de dos a uno de $U(1)\times SU(2)$ a $U(2)$ .

Así que en ese sentido el Glashow-Salam-Weinberg (GSW) $U(1)\times SU(2)$ ya contiene una $U(2)$ ¡grupo de calibre!

Por supuesto, los distintos campos de materia y gauge se transforman naturalmente en el hipercarga débil y isospina débil lenguaje, es decir, bajo $U(1)\times SU(2)$ .

Por otro lado, si construimos el modelo electrodébil GSW con el grupo gauge más pequeño $U(2)$ [en lugar del completo $U(1)\times SU(2)$ grupo gauge], entonces un campo de materia que se transforma en un (hipercarga,isospín) irrep $(Y,I)$ puede llegar a ser multivalente, dependiendo del valor fraccionario de la hipercarga $Y$ . Esto no ocurre para el contenido de campo del modelo estándar, cf. este Puesto de Phys.SE. Así que en ese sentido el grupo gauge electrodébil es $U(2)$ [a través del isomorfismo del grupo de Lie (2)].

Answer 3

El grupo gauge electrodébil correcto es $SU(2)_L \times U(1)_Y$ donde $Y$ denota la hipercarga débil. Después de que el campo de Higgs rompa espontáneamente esta simetría exacta, el tercer generador de $SU(2)_L$ (isospín débil) y la hipercarga débil se combinan para dar la $U(1)_{em}$ .

Los bosones y fermiones gauge caen bajo diferentes representaciones de este grupo gauge y se transforman de forma no trivial bajo la acción del grupo. Por ejemplo $W_{1,2,3}$ se transforma en un triplete bajo $SU(2)_L$ . Los fermiones zurdos se transforman como $SU(2)_L$ dobletes. Esto significa simplemente que bajo la acción de una transformación de simetría, los componentes de cada representación se mezclan de una manera especial dependiendo de la representación del grupo gauge. Así, los números cuánticos de nuestros campos determinan cómo se transforman e interactúan entre sí. Para el sector electrodébil del Modelo Estándar, las propiedades correctas se obtienen con el grupo gauge $SU(2)_L \times U(1)_Y$ y no con $U(2)$ .

Dicho esto, en las grandes teorías unificadas se parte de un grupo gauge mayor que contiene el grupo gauge SM y se intenta descomponerlo hasta el grupo gauge SM.