Ecuación integral múltiple

Question

$$f(x) = 2a \int_{0}^{x}{f(t)\;dt} - \left(\frac{b^2}{2}\right)\int_{0}^{1}{|x-t|f(t)\;dt}$$ donde $0<a<b$

Mi tarea es resolver para $f(x)$ . Tengo dificultades para resolver esta ecuación integral. Lo que hace que sea realmente difícil es el límite superior variable en la primera integral, por lo tanto implica que se trata de una ecuación integral de Volterra. Sin embargo, se trata de una ecuación integral doble. La segunda ecuación es una ecuación integral de Fredholm. Ahí es donde estoy atascado. He intentado atacarla desde diferentes ángulos, pero ha sido en vano.

Answer 1

Dividir la segunda integral de $0$ a $x$ y de $x$ a $1$ . $$f(x)=2a\int_0^xf(t)~dt-\dfrac{b^2}2\int_0^x(x-t)f(t)~dt+\dfrac{b^2}2\int_x^1(x-t)f(t)~dt$$ Ahora, a partir del teorema fundamental del cálculo, tenemos $$f'(x)=2af(x)-\dfrac{b^2}2\int_0^xf(t)~dt+\dfrac{b^2}2\int_x^1f(t)~dt$$ Diferéncialo de nuevo para obtener $$f''(x) = 2af'(x) - b^2 f(x)$$ $$f(x)=C_1e^{ax}\sin\sqrt{b^2-a^2}x+C_2e^{ax}\cos\sqrt{b^2-a^2}x$$ Ahora sustituye la solución en la ecuación integral para determinar $C_1$ y $C_2$ es decir, determinar $C_1$ y $C_2$ a partir de la siguiente identidad $$C_1e^{ax}\sin\sqrt{b^2-a^2}x+C_2e^{ax}\cos\sqrt{b^2-a^2}x\equiv2a\int_0^x(C_1e^{at}\sin\sqrt{b^2-a^2}t+C_2e^{at}\cos\sqrt{b^2-a^2}t)~dt-\dfrac{b^2}2\int_0^1|x-t|(C_1e^{at}\sin\sqrt{b^2-a^2}t+C_2e^{at}\cos\sqrt{b^2-a^2}t)~dt$$