Prueba en Progresión Aritmética

Question

Mi profesora de matemáticas en la escuela, le hace una pregunta que me estoy encontrando difícil de reprimir. Estamos dado que el $a^2 , b^2$ $c^2$ están en AP. Tenemos que demostrar que el $a/(b+c) , b/(a+c)$ $c/(a+b)$ están en AP.

Esto es lo que he intentado. Deje que la diferencia común de la AP d . Así,

$b^2 - a^2 = d \to b-a = d/(a+b) ........(1)$

Del mismo modo

$c^2 - b^2 = d \to c-b = d/(b+c). ........(2)$

También,

$a^2 - c^2 = -2d \to a-c = -2d/(a+c) .........(3) $

Ahora sumando las tres ecuaciones,

$$0 = d/(a+b) + d/(b+c) - 2d/(a+c) \\\ 2d/(a+c) = d/(a+b) + d/(b+c) \\\2/(a+c) = 1/(a+b) + 1/(b+c)$$

Por eso, $1/(a+b), 1/(a+c)$ $1/(b+c)$ están en AP. ¿Cómo debo ir más allá? O si me va mal en cualquier lugar, por favor, dígaselo. (Y por favor, ignore D y d, que son tanto la diferencia común de la AP).

Answer 1

$$\frac{2b}{a+c}=\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}\Leftrightarrow \\ 2b[b^2+b(a+c)+ac]=[a^2+a(b+c)+bc]+c[c^2+c(a+b)+ab]\Leftrightarrow\\ 2b^3+2b^2(a+c)=a^3+a^2(b+c)+c^3+c^2(a+b)\Leftrightarrow\\ 2b^2(a+b+c)=a^2(a+b+c)+c^2(a+b+c)\Leftrightarrow \\ (a+b+c)(2b^2-a^2-c^2)=0$$

Se puede terminar?

Answer 2

$AP1$: $$a^2\\ b^2\\ c^2$$ $$\text{Common Difference, }\quad d=b^2-a^2=c^2-b^2\qquad \qquad $$

$XP2$: $$P=\frac{b+c}\color{gris}{\cdot\frac{(c-b)}{(c-b)}}=\frac {a(c-b)}{c^2-b^2}=\frac {a(c-b)}d\\ Q=\frac b, {c,+}\color{gris}{\cdot\frac{(c-a)}{(c-a)}}=\frac {b(c-a)}{c^2-a^2}=\frac {b(c-a)}{2d}\\ R=\frac c{a+b}\color{gris}{\cdot\frac{(b-a)}{(b-a)}}=\frac {c(b-a)}{b^2-a^2}=\frac {c(b-a)}d\\$$ Si $XP2$ es un AP, a continuación,$P+R=2Q$.

El análisis de ambos lados: $$\text{LHS}=P+R=\frac {a(c-b)+c(b-a)}d=\frac {bc-ba}d=2\cdot\frac {b(c-a)}{2d}=2Q=\text{RHS}$$ Por lo tanto $XP2$ $AP$ si $AP1$$AP$.

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NB - yo había trabajado esto a cabo de forma independiente, pero el crédito a la sugerencia dada por @Pastillas en los comentarios.