Es esta una declaración equivalente al Teorema Fundamental del Álgebra?

Question

Es el siguiente equivalente a la habitual declaración del teorema fundamental del álgebra:

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Deje $$f(z)=c_nz^n+\cdots+c_1z+c_0$$

ser un polinomio con coeficientes complejos. Para todos, pero un número finito de $w \in \mathbb C$, $f(z)-w$ ha $n$ distintas raíces en $\mathbb C$.

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Este parece diferente a simplemente decir que $f(z)$, incluyendo los de multiplicidades, $n$ raíces. Debido a que esta declaración no deja la posibilidad de que podría haber un número finito de puntos de $w\in\mathbb C$ tal que $f(z)=c_nz^n+\cdots+c_1z+(c_0-w)$ no ha $n$ raíces. Cualquier idea es apreciado!

Answer 1

Un polinomio es divisible (tiene distintas raíces) si no comparte ceros con su formal de la derivada. Si $ P(X) - w $ es un polinomio de grado $ n $ $ w $ una constante, entonces su formal derivado $P'(X) $ es un polinomio de grado en la mayoría de las $ n-1 $ y no depende de la $ w $. Permitan que los diferentes ceros formal de la derivada ser $ z_1, z_2, \ldots, z_r $ donde $r \leq n-1 $; a continuación, $ P $ sólo puede ser inseparables si tiene uno de estos como una raíz. Pero esto requiere de $ w \in \{P(z_1), P(z_2), \ldots, P(z_r) \}$, y sólo hay un número finito de elementos de este conjunto; lo que significa que $ P(X) - w $ $ n $ distintas raíces para todos los $ w $ fuera de este conjunto.

Para la inversión de implicación, tenga en cuenta que si $ P(X) $ fue un polinomio sin raíces, a continuación, $|P(X)| $ tendría un valor distinto de cero valor mínimo (esto está garantizado por el crecimiento lema), decir $ r $. En ese caso, tendríamos que $ |P(X) + q| \geq ||P(X)| - q| \geq r/2 $ todos los $ 0 \leq q \leq r/2 $, lo que significa que ninguno de estos polinomios pueden tener raíces en $ \mathbb{C} $. Esto viola nuestra hipótesis, ya que hay sólo un número finito de tales polinomios que no tienen $ n $ distintas raíces.

Answer 2

ok, veamos el statemt que dice

Para todos, pero un número finito de $w \in C$, $f(z)-w$ ha $n$ distintas raíces en $\mathbb C$.

Como está escrito, que el enunciado no dice que hay raíces en todos los al $w$ es uno de esos un número finito de excepciones. Por lo tanto se queda corta de suponer que el teorema fundamental, que dice que siempre hay al menos una raíz.

Usted escribió "incluyendo multiplicidades, $n$ dinstinct raíces". Tal vez te estás perdiendo el significado de la palabra "distinto". Si alguna de las raíces tiene multiplicidad de más de $1$, y la suma de las multiplicidades es$n$, $n$ raíces que usted tiene (incluyendo multiplicidades) son no diferentes.

Independientemente de que el valor de $w$, no va a ser $n$ raíces si usted contar multiplicidades, es decir, la suma de las multiplicidades siempre va a ser $n$. Pero para un número finito de valores de $w$, las raíces no va a ser distinto.

Usted pregunta si la declaración es "equivalente" a la "teorema fundamental del álgebra". Si "equivalente" significa que son ambas verdaderas o ambas falsas, entonces ellos son. Si la equivalencia se define en relación a un determinado sistema axiomático en el que los axiomas no son suficientes para decidir si la declaración es verdadera o falsa, entonces puede tener sentido decir lo que "equivalente" significa.

Pero si "equivalente" significa que la deducción de, ya sea como un corolario de los otros es simple y rápida y, a continuación, "equivalente" no es del todo definido con precisión. A veces, significa que alguien ha demostrado que ambas son verdaderas o ambas son falsas, sin decir que.

Obviamente, si hay $n$ raíces, contados por multiplicidades, entonces hay al menos una raíz, y eso es lo que el teorema fundamental dice.

Por otro lado, si el teorema fundamental es cierto (y no es un teorema de álgebra , como se le suele entender que el término hoy en día), entonces con un simple teorema de álgebra dice que podemos escribir $$ f(z) = (z-z_1) g(z) $$ donde $z_1$ es un cero de $f(z)$, y luego aplicando el teorema fundamental y que simple teorema de álgebra de nuevo, obtenemos $$ f(z) = (z-z_1)(z-z_2)h(z) $$ y así sucesivamente. Así que usted consigue $n$ raíces, contados por multiplicidades. Usted puede hacer esto en una exponen en la prueba por inducción matemática.

Answer 3

Ya que las dos afirmaciones son verdaderas, son claramente wquivalent, pero esto no es lo que se pregunta, con toda probabilidad. Lo que el OP está pidiendo, sin duda, es si las dos expresiones son equivalentes en el sentido de que probar que uno es casi el mismo como la demostración de la otra.

La declaración de

el polinomio $P(X)-w$ $n$ distintas raíces para todos, pero un número finito de valores de $w$

es trivialmente equivalente a

el discriminante de $P(X)-w$ tiene un número finito de raíces.

Desde el discriminante de $P(X)-w$ es un polinomio de $w$, esta última afirmación es verdadera, pero las razones mucho más débil que el teorema fundamental del álgebra.