diferencial de la ecuación con funciones trigonométricas

Question

Hay un "simple" manera de resolver un diferencial ecuación, como en el ejemplo siguiente se $f'(t)=\sin(f(t))+t^2$?

No sé cómo abordar esta pregunta, alguien me puede ayudar?

Answer 1

No hay manera fácil. Arce no encuentra la forma cerrada de la solución. Dudo mucho que hay uno.

Por supuesto que puede haber soluciones de la serie y soluciones numéricas. Por ejemplo, con la condición inicial $f(0)=0$ obtenemos una solución de la serie $$ f \left( t \right) ={\frac{1}{3}}{t}^{3}+{\frac{1}{12}}{t}^{4}+{\frac {1}{60}}{t}^{5}+{\frac{1}{360}}{t}^{6}+{\frac{1}{2520}}{t}^{7}+{\frac{ 1}{20160}}{t}^{8}+{\frac{1}{181440}}{t}^{9}-{\frac{373}{604800}}{t}^{ 10}+\ldots $$

Sospecho que "esta cuestión" en realidad no pido que resolver la ecuación diferencial...

Answer 2

Sugerencia:

Siga el método en http://science.fire.ustc.edu.cn/download/download1/book%5Cmathematics%5CHandbook%20of%20Exact%20Solutions%20for%20Ordinary%20Differential%20EquationsSecond%20Edition%5Cc2972_fm.pdf#page=223:

Deje $u=\tan\dfrac{f}{2}$ ,

A continuación, $\dfrac{du}{dt}=\dfrac{t^2u^2}{2}+u+\dfrac{t^2}{2}$

Deje $u=-\dfrac{2}{t^2v}\dfrac{dv}{dt}$ ,

A continuación, $\dfrac{du}{dt}=-\dfrac{2}{t^2v}\dfrac{d^2v}{dt^2}+\dfrac{4}{t^3v}\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{2}{t^2v^2}\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2$

$\therefore-\dfrac{2}{t^2v}\dfrac{d^2v}{dt^2}+\dfrac{4}{t^3v}\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{2}{t^2v^2}\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2=\dfrac{2}{t^2v^2}\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2-\dfrac{2}{t^2v}\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{t^2}{2}$

$\dfrac{2}{t^2v}\dfrac{d^2v}{dt^2}-\dfrac{2}{t^2v}\dfrac{dv}{dt}-\dfrac{4}{t^3v}\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{t^2}{2}=0$

$4t\dfrac{d^2v}{dt^2}-4(t+2)\dfrac{dv}{dt}+t^5v=0$