Lo siguiente es tomado de (probablemente es importante tener en cuenta el año del artículo):
B. Russell, En algunas dificultades en la teoría de los números transfinitos y tipos de orden, Proc. Londres Matemáticas. Soc. La Ser.II, Vol.4 (1907), Nº 1, pp 29-53, revista enlace.
Primero vamos a tomar una definición del artículo.
Una función proposicional de $x$ es cualquier expresión de $\phi ! x$ cuyo valor, para cada
valor de $x$, es una proposición; tal es "$x$ es un hombre" o "$\sin x = 1$."
Ahora en una de las teorías discutidas en el papel.
En el zig-zag de la teoría, nos
inicio de la sugerencia de que proposicional funciones determinar las clases
cuando ellos son bastante simples, y sólo no lo hacen cuando son complicadas
y recóndito. Si este es el caso, no se puede ser de gran tamaño que hace que
una clase ir mal; para tales funciones proposicionales como "$x$ no es un hombre"
tener un ejemplar sencillez, y son satisfechos por todos, pero de un número finito de
número de entites. En esta teoría, así como en la teoría de la limitación
de tamaño, se define un predicativo proposicional función que determina
una clase (o de una relación, si contiene más de dos variables); así, en el
zig-zag de la teoría de la negación de un predicativo función siempre es predicativo.
En otras palabras, dado cualquier clase de $u$, todos los términos que no son miembros de
$u$ forman una clase que puede ser llamada la clase no-$u$.
Ahora si $\phi ! x$ es un no-predicativo función de ello se desprende que, dado cualquier
clase $u$, no deben ser miembros de $u$ que $\phi ! x$ es falso, o
los miembros de la no-$u$ que $\phi ! x$ es cierto. (Porque, si no, $\phi ! x$ sería verdad
cuando, y sólo cuando, $x$ es un miembro de $u$; por lo que el $\phi ! x$ sería predicativo.)
Parece, pues, que el $\phi ! x$ no ser predicativo como mucho por
los términos que no se incluyen como por los términos en que lo hace. De nuevo, dado
cualquier clase de $u$, la propiedad $\phi ! x$ pertenece o bien a algunos, pero no todos, de
los miembros de $u$ o a algunos, pero no todos, de los miembros de
no-$u$. Este es el zig-zag de la propiedad que da nombre a la teoría
estamos considerando.
Russell va a explicar un poco más.
El zigzag de la teoría, de una u otra forma, es que se asume en la
las definiciones de los números cardinales y ordinales como clases de clases (si
los números se supone que las entidades). Para todas estas clases de clases, si
ellos son legítimos, debe contener como muchos de los miembros, ya que hay entidades
en conjunto; por lo tanto, si la grandeza hace que las clases van mal, como suponemos en
la "limitación de tamaño de la" teoría de los cardenales y los ordinales así definido se
ser ilegítimo clases.
