Me he encontrado a mí mismo a ser absolutamente desconcertado por algo en Deligne y Milne notas en Tannakian categorías. Es decir, en p. 16 de ellos están mostrando que hay una rígida aditiva del tensor de la categoría $\mathsf{C}$ con un distinguido objeto de $T$ tal que para cada rígidos otros aditiva del tensor de la categoría $\mathsf{D}$ hay una equivalencia de categorías
$$ \text{Hom}^{\otimes} (\mathsf{C}, \mathsf{D})\xrightarrow{\sim}\mathsf{D}, \quad F\mapsto F(T)$$
Ellos llaman a este par de $(\mathsf{C}, T)$ el rígido aditiva del tensor de la categoría freely generado por $T$, y su UMP es como un categorified versión de la representación de la "identidad functor" en el $2$-categoría de todos los aditiva del tensor de categorías (realmente no sé nada acerca de $2$-categorías así que no estoy seguro de cómo técnicamente precisa es esta!). Me parece un objeto interesante, y me gustaría ver cómo existe, pero la construcción me ha dejado completamente confundido. Voy a describir lo que dicen en las notas de integridad, aunque las notas no tienen muchos más detalles.
El programa de instalación en las notas
Se empieza por mirar a una construcción en módulos. Es decir, si $V$ es un servicio gratuito de $R$-módulo de rango finito que establezca $T^{a,b}(V) = T^{a,b} = V^{\otimes a} \otimes (V^\vee) ^{\otimes b}$ $R$- módulo de los tensores de covariante grado $a$ y contravariante grado $b$.Un mapa de $f:T^{a,b}\to T^{c,d}$ puede ser identificado con un elemento $"f"\in T^{b+c, a+d}$. El mapa de identidad $\text{id}: V \to V$ da un distinguido elemento $"\text{id}" \in T^{1,1}$ y la mayor tensor de poderes de este elemento están en $T^{b+c,a+d}$ siempre $a+d = b+c$. Podemos permutar el contravariante de los componentes de este elemento especial a través de los elementos del grupo simétrico $S_{a+d}$, dando un mapa
$$\epsilon: S_{a+d} \to T^{b+c, a+d} = \text{Hom} (T^{a,b}, T^{c,d})$$
lo que induce a un mapa de $R[S_{a+d}]\to \text{Hom} (T^{a,b}, T^{c,d})$ que es inyectiva proporcionado $\text{rank} (V)\geq a+d$. Si tenemos mapas
$$ T^{a,b}\xrightarrow{\epsilon(\sigma)} T^{c,d} \xrightarrow{\epsilon(\tau)} T^{e,f}$$
luego, aparentemente, $\epsilon (\tau) \circ \epsilon(\sigma)$ está dada por una fórmula universal
$$\epsilon (\tau) \circ \epsilon(\sigma) = \text{rank} (V)^N \epsilon (\rho).$$
A continuación, una categoría general en la que se construye mediante este caso de los módulos como un modelo.
Preguntas
Sé que esto es mucho pedir, pero realmente apreciaría si alguien que ha entendido esta construcción me podría ayudar con algunas preguntas básicas. Concretamente, algunas de las principales cosas que no entiendo son:
- Si $"\text{id}"\in T^{1,1}$ se obtiene a partir de la identidad de mapa de $V\to V$, entonces podemos escribir $"\text{id}" = v\otimes f \in V\otimes V^\vee$. Entonces, para mí, el mayor tensor de poderes de $"\text{id}"$ son solo elementos de la forma
$$"\text{id}"^{\otimes n} = a\otimes \dots a \otimes f\otimes \dots \otimes f$$
Pero sin duda, entonces, permuting la contravariante de los componentes de este elemento por parte de elementos de la $S_n$ no hace nada, ya que todos ellos son el mismo. Así lo he interpretado mal, y también hay una razón para permuting la contravariante de componentes y no de la covariante?
- Sospecho que esto depende en gran medida de mi forma de entender el mapa de $R[S_{a+d}]\to \text{Hom}(T^{a,b}, T^{c,d})$ (que es muy pobre, sin una respuesta a mi primera pregunta), pero ¿cómo se puede ir sobre el cálculo de la fórmula universal?
- Por último, hay otras descripciones de esta construcción en la literatura, la posibilidad de ir por diferentes nombres? He buscado pero he sido incapaz de encontrar nada. Sería de gran ayuda para mi entendimiento para ver que hacer de varias maneras.
Muchas gracias por tu ayuda!
Edit: he aceptado la respuesta a continuación como, de manera más relevante contestado a mi pregunta. También he añadido algunos pensamientos de una manera diferente, escrito como otra respuesta, a pesar de que están lejos de una comprensión completa. Yo sin duda lo haría bienvenido otras respuestas o comentarios, incluso si ellos también están incompletos!
