Cinco lemas en HoTop* y categorías de modelos puntuales arbitrarios

Question

Dejemos que $\textbf{HoTop}^*$ sea la categoría de homotopía de los espacios topológicos puntuales. En lo sucesivo, la palabra "isomorfismo" significará siempre isomorfismo en $\textbf{HoTop}^*$ es decir, la equivalencia homotópica puntiforme. Todas las construcciones como los conos o las suspensiones son puntuales/reducidas.

Un triángulo $X\to Y\to Z\to \Sigma X$ se llama distinguido si es isomorfo en $\textbf{HoTop}^*$ a un triángulo de la forma $X\stackrel{f}{\to} Y\hookrightarrow\text{C}f\to\Sigma X$ , donde $\text{C}f\to\Sigma X$ es el mapa que colapsa $Y$ hasta cierto punto.

El problema:

Dejemos que $\ \ \matrix{X & \to & Y & \to & Z & \to & \Sigma X\cr\downarrow\alpha &&\downarrow\beta&&\downarrow\gamma &&\downarrow&\Sigma\alpha\cr X^{\prime} & \to & Y^{\prime} & \to & Z^{\prime} & \to & \Sigma X^{\prime}}\ \ $ sea un morfismo de triángulos distinguidos tal que $\alpha$ y $\beta$ son isomorfismos. ¿Es cierto que $\gamma$ también es un isomorfismo?

Sugerencias:

Para un morfismo de triángulos como el anterior (donde $\alpha$ y $\beta$ no son necesariamente isomorfismos), el morfismo $\gamma^*: [Z^{\prime},-]\to [Z,-]$ es equivariante con respecto a $[\Sigma\alpha]^*: [\Sigma X^{\prime},-]\to [\Sigma X,-]$ . ( edit: esto es incorrecto -- ver abajo ) Por lo tanto, pensé que se podría aplicar el teorema 6.5.3 del libro de Hoveys sobre Categorías de Modelos. Desgraciadamente, parece que hay una laguna al final de la demostración, como ya se ha señalado aquí .

Por lo tanto, tengo lo siguiente

Preguntas:

(1) ¿Estoy malinterpretando algo en la prueba de Hovey de 6.5.3(b), o realmente hay una laguna en ella? Si es una laguna: ¿Tienes alguna sugerencia sobre cómo arreglar la prueba?

(2) Si la prueba no se puede arreglar en esta generalidad: ¿Tienes sugerencias sobre cómo demostrar la declaración anterior sólo para $\textbf{HoTop}^*$ ?

Editar:

(1) La prueba habitual de este hecho para las categorías trianguladas no funciona aquí, porque allí se utiliza el hecho de que $[X,-]$ tiene valor de grupo abeliano para cualquier $X$ y utiliza el lema clásico de los cinco junto con Yoneda para concluir que $\gamma$ es un isomorfismo. Esto no parece funcionar aquí.

(2) Dado que los morfismos parciales de los triángulos distinguidos en $\textbf{HoTop}^*$ siempre puede completarse con morfismos de triángulos, podemos reducir al caso en que $\alpha$ y $\beta$ ambos son iguales a la identidad. Por lo tanto, tenemos un diagrama conmutativo (en $\textbf{HoTop}^*$ es decir, un diagrama homotópico conmutativo en $\textbf{Top}^*$ )

$\matrix{X & \to & Y & \to & Z & \to & \Sigma X\cr\downarrow & \text{id}_X &\downarrow & \text{id}_Y&\downarrow&\gamma&\downarrow&\text{id}_{\Sigma X}\cr X & \to & Y & \to & Z& \to & \Sigma X}$

y tenemos que demostrar que $\gamma$ es una equivalencia homotópica.

La prueba de Hovey

La forma en que Hovey procede en su prueba es la siguiente: Sabemos las siguientes cosas:

(1) $\gamma^*: [Z,-]\to [Z,-]$ es $[\Sigma X,-]$ -equivariante

(2) Dos mapas $c,d\in[Z,W]$ son iguales en $[Y,W]$ si y sólo si se encuentran en la misma $[\Sigma X,W]$ -órbita.

De (2) y de la conmutatividad del cuadrado medio se deduce que para cualquier $h\in [Z,W]$ hay algo de $\rho\in[\Sigma X,W]$ tal que $\gamma^*(h)=h.\rho$ En otras palabras $\gamma^*$ no cambia el $[\Sigma X,-]$ -órbita.

Ahora, supongamos que hay $g,h\in [Z,W]$ tal que $\gamma^*(h)=\gamma^*(g)$ . Entonces, de nuevo por la conmutatividad del cuadrado medio, hay alguna $\alpha\in [\Sigma X,W]$ tal que $g = h.\alpha$ . Así, por (1), $\gamma^*(g) = \gamma^*(h).\alpha = \gamma^*(g).\alpha$ y así $\alpha\in\text{Stab}(\gamma^*(g))$ .

La cuestión es que Hovey ahora quiere demostrar que $\text{Stab}(\gamma^*(g))=\text{Stab}(g)$ esto implicaría $\alpha\in\text{Stab}(g)$ y por lo tanto $h = g.\alpha^{-1} = g$ según sea necesario. La inclusión $\text{Stab}(\gamma^*(g))\supset\text{Stab}(g)$ es evidente. Para la otra inclusión, no tengo ni idea de cómo probarlo.

¿Ves cómo se puede arreglar la prueba?

EDICIÓN FINAL

He cometido un error al demostrar que para cualquier morfismo de triángulos $(\alpha,\beta,\gamma)$ el morfismo $\gamma^*$ es equivariante con respecto a $(\Sigma\alpha)^*$ . Esto está mal.

Así que lo que queda es la pregunta sobre cómo arreglar la prueba del teorema 6.5.3 en el libro de Hovey. ¿Alguna sugerencia?

Gracias.

Answer 1

Esto es falso para los espacios.

Dejemos que $X = S^0, Y = S^1$ y $f:X \to Y$ sea el mapa trivial. Entonces $Z = Cf$ es $S^1 \vee S^1$ . Entonces $[X,Y]$ es trivial, por lo que la verdad de esta afirmación implicaría: Si se tiene un mapa $g: Z \to Z$ que es la identidad en el primer círculo, y tal que el mapa inducido $S^1 \to S^1$ después de colapsar el primer círculo es homotópico a la identidad, entonces $g$ es una equivalencia homotópica.

El mapa $g$ es un mapa basado en una cuña de dos círculos a sí mismo, que tiene grupo fundamental $F$ el grupo libre sobre dos generadores, con generadores $x, y$ correspondientes a los dos factores del círculo. Un auto-mapa está determinado hasta la homotopía por un par de elementos en $x', y' \in F$ . La condición de que el primer círculo esté mapeado por la identidad dice $x = x'$ y la condición de que el mapa inducido sobre los cocientes sea homotópico a la identidad dice que la imagen de $y'$ en $F/\langle x \rangle$ es la misma que la imagen de $y$ .

Entonces: Supongamos que tienes un par de elementos $x$ y $y'$ en $F = \langle x,y \rangle$ tal que $y \equiv y'$ en $F/\langle x \rangle$ . Entonces haz $x$ y $y'$ generar libremente $F$ ?

Y la respuesta es no. Por ejemplo, si $y' = (y x)^3 y^{-2}$ entonces $y' \equiv y$ después de tomar el cociente, pero el par $x, (y x)^3 y^{-2}$ no generan el grupo libre. Esto es creíble, pero en lugar de ser vago vamos a dar una prueba para completar.

Existe un homomorfismo de grupo $F \to S_3$ enviando $x$ a los 2 ciclos $(1 2)$ y $y$ a $(1 3)$ . Este homomorfismo es sobreyectivo porque estos generan el grupo, pero $y'$ mapea al elemento trivial porque la imagen de $yx$ tiene orden 3 y la imagen de $y$ tiene un orden 2. Por lo tanto, $x$ y $y'$ no generan $S_3$ y por lo tanto no pueden generar $F$ .

Answer 2

Aquí hay algunos comentarios sobre el bonito ejemplo de Tyler, que responde a la pregunta de si un mapa de un complejo CW $Z$ a sí mismo es una equivalencia de homotopía si restringe a una equivalencia de homotopía de un subcomplejo $A$ a sí mismo e induce una equivalencia de homotopía $Z/A\to Z/A$ . El ejemplo muestra que la respuesta es no en general, pero es sí si $Z$ es simplemente conectado ya que las hipótesis implican que el mapa induce un isomorfismo en la homología de $Z$ por lo que se aplica el teorema de Whitehead. De forma más general, la respuesta es afirmativa si el grupo fundamental de $Z$ es abeliano y actúa trivialmente sobre todos los grupos homotópicos superiores de $Z$ ya que el teorema de Whitehead también es válido en esta generalidad. (Para una prueba de libro de texto véase la Proposición 4.74 de mi libro de topología algebraica).

El ejemplo de Tyler se generaliza de la siguiente manera. Sea $Z=S^1 \vee S^n$ para $n>1$ Así que $\pi_nZ=\{\mathbb Z}[t,t^{-1}]$ los polinomios de Laurent, con $\pi_1Z$ actuando por multiplicación por potencias de $t$ . (Busque en la portada universal de $Z$ para ver esto). Deja que $g:Z\to Z$ sea la identidad en $S^1$ y en $S^n$ que represente un polinomio de Laurent $p(t)$ tal que $p(1)=\pm 1$ por ejemplo $p(t)=2t-1$ . Entonces $g$ es una equivalencia de homotopía en $A=S^1$ y en el cociente $Z/A=S^n$ pero $g$ no necesita inducir un isomorfismo en $\pi_nZ$ así que $g$ no tiene por qué ser una equivalencia homotópica, por ejemplo cuando $p(t)=2t-1$ ya que en este caso el cokernel de $g$ en $\pi_n$ es el módulo cociente ${\mathbb Z}[t,t^{-1}]/(2t-1)$ que son sólo los racionales diádicos.