Dos círculos concéntricos tienen radios 1 y 4

Question

¿Qué es $k+m+n$?

Gracias por ayudar. Por favor, dar una solución para mí, si no te importa.

Answer 1

Deje $O$ ser el centro de los círculos concéntricos, vamos a $A$ ser el centro de la parte superior de la luz-círculo gris, y deje $B$ ser el centro de uno de la parte superior de color gris oscuro círculos; deje $r$ común será la radio de los círculos pequeños.

Claramente, la simetría dicta que $\angle AOB = 60^\circ$. Tenga en cuenta que $|OA| = 4-r$, e $|OB| = 1+r$, e $|AB| = 2r$. Por lo tanto, por la Ley de los Cosenos (y la suposición de que $r$ debe ser positivas):

$$\begin{align} |AB|^2 &= |OA|^2 + |OB|^2 - 2 |OA| |OB| \cos 60^\circ \\ \implies \qquad (2r)^2 &= (4-r)^2 + (1+r)^2 - ( 4-r )( 1 + r ) \\ \implies \qquad 0 &= r^2 + 9 r - 13 \\ \implies \qquad r &= \frac{1}{2}\left( -9 + \sqrt{7\cdot 19} \right) \end{align}$$

Así, $k = -9$, $m = 133$, y $n = 2$, por lo que el $k+m+n = 126$.

Answer 2

como se puede ver en la imagen que simplemente tomar algunos triángulos congruentes, encontrar un triángulo regular y tres veces utilizar el teorema de pitágoras para encontrar 126.