Derivado de la $\int_{0}^{x} \sin(1/t) dt$ $x= 0$

Question

He estado tratando de averiguar cómo evaluar $$ \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} \sin(1/t) dt $$ at $x = 0$. I know that the integrand is undefined at $x = 0,$ pero ¿hay alguna manera para "extender" la derivada hasta el punto? O es que no differntiable allí - y si es así, ¿por qué?

Answer 1

Sugerencia:

$$\frac{1}{x}\int_0^x \sin(1/t)\,dt = \frac{1}{x}\int_{1/x}^\infty \frac{\sin u}{u^2}\,du.$$

Integrar por partes.

Answer 2

Utilice la función de $g(x) =x^{2}\cos(1/x),g(0)=0$, de modo que $g$ es diferenciable con $$g'(x) =2x\cos(1/x)+\sin(1/x),g'(0)=0$$ and hence upon integrating we get $$\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\sin(1/t)\,dt=\frac{g(x)}{x}-\frac{2}{x}\int_{0}^{x}t\cos(1/t)\,dt$$ Taking limits as $x\a 0$ we can see that the RHS tends to $0$ so the desired derivative is $0$.

Answer 3

Uso de la identidad

$$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \int \limits_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,{\rm d}t = b'(x) f\left( b(x) \right)-a'(x) f\left(a(x)\right)$$

para obtener

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \int \limits_{0}^{x} \sin \left( \frac{1}{t} \right)\,{\rm d}t = 1\, \lim_{t \rightarrow x} \sin \left( \frac{1}{t} \right) - 0 = \sin \left( \frac{1}{x} \right)$$