Raíz positiva de un polinomio disperso

Question

Dado $a, b, c > 0$ ¿es posible calcular la raíz real positiva del siguiente polinomio disperso de grado $n \geq 2$ ?

$$P(x) = ax^n - bx + c$$

Answer 1

Advertencia: En la configuración dada, es posible que el polinomio no tenga raíces reales (cuando $c$ es suficientemente grande). Aquí, estoy asumiendo que este polinomio tiene una raíz. Para comprobarlo, podemos introducir el mínimo de la derivada y comprobar el signo de $f$ en ese momento.

Depende de lo que entiendas por "calcular". ¿Quieres una forma cerrada de las raíces? ¿Quiere aproximar las raíces? Para los sistemas dispersos, a veces se puede obtener algo del politopo de Newton, pero voy a utilizar un enfoque más elemental.

En primer lugar, consideremos la derivada de $f$ . $$ f'(x)=nax^{n-1}-b. $$ Podemos ver fácilmente que esto tiene un cero en $$ x=\left(\frac{b}{na}\right)^{\frac{1}{n-1}}. $$ Este es un mínimo del polinomio y el valor de la función de este punto debe ser negativo (si el polinomio tiene alguna raíz - tenga en cuenta que en su configuración, el polinomio podría no tener ninguna raíz si $c$ es demasiado grande).

Por otro lado, cuando $ax^n-bx=0$ La función es positiva. En otras palabras, cuando $$ x=\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}}, $$ la función es igual a $c$ .

Por lo tanto, la raíz de interés está dentro del intervalo $$ \left[\left(\frac{b}{na}\right)^{\frac{1}{n-1}},\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}}\right]. $$ Para $n$ grande con respecto a $\frac{b}{a}$ , este es un intervalo pequeño.