Me preguntaba por qué las empresas de taxi, la euclídea y sup norma métricas son etiquetados como $l^1$, $l^2$ y $l^{\infty}$ a posteriori? ¿Hay alguna $l^3, l^4, \dots$-métricas definidas entre ambos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, para cada una de las $p \ge 1$ no es una métrica de $d_p$ sobre un conjunto de bienes o secuencias complejas:
$$d_p((x_n),(y_n)) = \sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty |x_n - y_n|^p}$$
que se define en el conjunto de secuencias de $(x_n)$ tal que
$$\|(x_n)\|_p := \sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p} < \infty$$
que se llama $\ell^p$, e $\|\cdot\|_p$ es una norma y en el conjunto de $\ell^p$ se convierte en un espacio de Banach.
Como $$\lim_{p \to \infty} \|x_n\|_p \to \sup \{ |x_n|: n = 1,2,3\ldots \}$$
el último supremum se define a ser $\|x\|_{\infty}$, y el conjunto correspondiente de la (limitada) de las secuencias se llama $\ell^\infty$, y es también un espacio de Banach.
Incluso para $0 < p < 1$ podemos definir $\ell_p$ como el conjunto de todas las secuencias que $\sum_n |x_n|^p$ converge y definir una métrica
$$d_p = \sum_{n=1}^\infty |x_n - y_n|^p$$
en esta métrica espacio vectorial, pero no es localmente convexo, por lo que no normable para estos $p$. El estándar de la secuencia de espacios de $\ell_p$ $p \ge 1$ son un clásico y bien estudiado espacios. Resulta que el espacio dual de $\ell^p$ $\ell^q$ donde $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Las métricas $d_p$ se usa también en las secuencias finitas, es decir,$\mathbb{R}^n$. En un espacio de dimensión finita todas estas normas son equivalentes, pero no están en el infinito de secuencias.
