La suma de $\sum_{r=1}^{n} \frac{\cos (2rx)}{\sin((2r+1)x \sin((2r-1)x}$

Question

La suma de $$S=\sum_{r=1}^{n} \frac{\cos (2rx)}{\sin((2r+1)x \sin((2r-1)x}$$

Yo:

$$S=\sum_{r=1}^{n} \frac{\cos (2rx) \sin((2r+1)x-(2r-1)x)}{\sin 2x \:\sin((2r+1)x \sin((2r-1)x}$$

$$S=\sum_{r=1}^{n} \frac{\cos (2rx) \left(\sin((2r+1)x \cos (2r-1)x-\cos(2r-1)x)\sin(2r+1)x\right)}{\sin 2x \:\sin((2r+1)x \sin((2r-1)x}$$

$$S=\sum_{r=1}^n \frac{\cos(2rx)}{\sin 2x}\left(\cot(2r-1)x-\cot(2r+1)x\right)$$

ninguna idea de por aquí?

Answer 1

Buena pregunta! Aquí es un enfoque posible. Primero debemos reescribir el numerador como $$ \cos(2rx) = \cos[(r+\frac{1}{2})x+(r-\frac{1}{2})x] = \cos\frac{2r+1}{2}x\cos\frac{2r-1}{2}x - \sin\frac{2r+1}{2}x\sin\frac{2r-1}{2}x $$ y el denominador como $$ 4\sin\frac{2r+1}{2}x\cos\frac{2r+1}{2}x\cdot \sin\frac{2r-1}{2}x\cos\frac{2r-1}{2}x. $$ Por lo tanto, el original de la suma se puede escribir como $$ S_n = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sin\frac{2r+1}{2}x\sin\frac{2r-1}{2}x} -\frac{1}{4}\sum_{i=1}^n \frac{1}{\cos\frac{2r+1}{2}x\cos\frac{2r-1}{2}x}. $$ Ahora podemos usar el truco que multiplican por un factor de $\frac{\sin x}{\sin x}$ y el uso de $$\sin x = \sin\frac{2r+1}{2}x\cos\frac{2r-1}{2}x - \sin\frac{2r-1}{2}x\cos\frac{2r+1}{2}x.$$ De la primera suma, $$ \frac{\sin x}{\sin\frac{2r+1}{2}x\sin\frac{2r-1}{2}x} = \cuna \frac{2r-1}{2}x\cuna \frac{2r+1}{2}x. $$ Para la segunda suma, $$ \frac{\sin x}{\cos\frac{2r+1}{2}x\cos\frac{2r-1}{2}x} = \tan \frac{2r+1}{2}x\tan \frac{2r-1}{2}x. $$ Por lo tanto la suma original es $$ S_n = \frac{1}{4\sin x}(\cuna \frac{1}{2}x\cuna \frac{2n+1}{2}x\tan \frac{2n+1}{2}x+\tan \frac{1}{2}x). $$