Rango($AB-BA$) $=1 \implies A$ y $B$ son simultáneamente triangularisable

Question

Deje $A$ $B$ $M_n(\mathbb C)$ tales que el rango de $AB-BA$$1$. Demostrar que $A$ $B$ son simultáneamente triangularisable.

Esto generaliza el caso clásico $AB = BA$.

Por inducción en $n$, es suficiente para mostrar que $A$ $B$ tienen en común un vector propio. Por lo tanto, sería suficiente para encontrar un espacio propio de $A$ que es estable por $B$ desde matrices complejas.

¿Tienes ideas para que? Gracias.

Answer 1

Permite demostrar que $A$ $B$ tiene al menos un común autovector. Si $x\in \ker(A-\lambda I)$, tenemos $$ (AB-BA)x = (A-\lambda I)Bx. $$ Para $x\in \ker (AB-BA)$ esto implica $Bx\in \ker(A - \lambda I)$, lo que significa que $\ker(A-\lambda I)$ es un subespacio invariante para el operador $B$, por lo que no es un autovector $y$ $B$ acostado en ella.

Ganamos cuando al menos un vector propio de a $A$ o $B$ acostado en $\ker(AB-BA)$. Considere el caso en que todos los vectores propios de a $A$ $B$ no $\ker(AB-BA)$. De la conocida identidad $$ \dim\ker(AB-BA) = n - \mathrm{rango}\,(AB-BA) = n-1, $$ así vectores propios de ambos $A$ $B$ acostado en el subespacio de dimensión $1$, lo que significa que tienen en común autovector.

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Ahora, vamos a $v$ ser un vector propio de a $A$ $B$ en alguna base $\{e_1,\dots, e_n\}$. A continuación, en base a $\{v,e_2,\dots, e_n\}$ matrices de $A$ $B$ se $$ A = \begin{pmatrix} \lambda & X \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \mu & Y \\ 0 & B_1 \end{pmatrix}. $$ Este rendimientos $\mathrm{rank}(A_1B_1-B_1A_1) \leq \mathrm{rank}(AB-BA)$, por lo que tenemos la misma situación para$A_1$$B_1$. Repitiendo este razonamiento $n$ veces obtenemos la parte superior triangular formas de $A$ $B$ en la misma base.