Mostrar que si $X$ es localmente compacto y $\sigma$-compacto, entonces es divisible

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio que dice:

Mostrar que un localmente compacto espacio es $\sigma$-compacto si y sólo si es divisible.

Aquí localmente compacto significa que también es Hausdorff. Me había demostrado que la separación implica la $\sigma$-compacidad pero estoy atascado en la otra dirección.

Suponiendo que $X$ $\sigma$- compacto parece suficiente para demostrar que un compacto Hausdorff espacio es separable. Sin embargo, yo no tienen ni idea acerca de cómo hacerlo.

Mi primer pensamiento fue tratar de demostrar que un compacto Hausdorff espacio es la primera contables, lo que implicaría que es segundo contable y de aquí la prueba está casi hecho. Sin embargo parece que mi suposición no es cierto, así que estoy de nuevo en el punto de partida.

Alguna sugerencia será bienvenida, gracias.

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EDIT: parece que el ejercicio está mal. Buscando en la web me encontré con un "sketch" para una prueba de que un compacto Hausdorff espacio no separable:

Otro ejemplo natural: tomar más de |R| copias de la unidad de intervalo de y llevar su producto. Este es compacto Hausdorff (Tychonov teorema) pero no separables (prueba no es demasiado difícil, pero se omite).

Espero que esto ayudó,

Henno Brandsma

Mi conocimiento de la topología es poco y el ejercicio de aparecer en un libro de análisis (esto es una parte del ejercicio 18 en la página 57 de Análisis III de Amann y Escher.)

Mi esperanza es que @HennoBrandsma (un usuario de este sitio web) aparecen y aclarar la pregunta :)

Answer 1

Como ya he dicho, no se puede decir en general que un localmente compacto espacio es divisible iff es $\sigma$-compacto.

Hay muchos clásicos en espacios compactos que no son separables, por ejemplo, $[0,1]^I$ donde $|I| > \mathfrak{c}$, y el lexicográficamente ordenó la plaza de $[0,1] \times [0,1]$ en el orden de la topología o la Alexandroff doble de $[0,1]$ etc. Todos estos espacios son trivialmente $\sigma$-compacto y localmente compacto, por lo que refuta la derecha a la izquierda a la implicación.

Pero la declaró hecho es cierto si nos limitamos a la métrica o metrisable espacios, (o de hecho cualquier clase de espacios donde la separación es equivalente a Lindelöfness):

Supongamos $X$ es separable, luego de un espacio métrico esto implica que $X$ es Lindelöf y así como $X$ tiene una cubierta abierta de abrir los conjuntos compactos cierres (ser localmente compacto) tiene una contables de cobertura así. Por lo tanto $X$ luego $\sigma$-compacto. Por otro lado, si $X$ $\sigma$- compacta, Lindelöf (esta implicación tiene en general los espacios) y, por tanto, separable.

Answer 2

tome $\omega_1+1$ con el fin de topología. Este es compacto Hausdorff, pero no separable. (Es decir, tomar el espacio de todos contables ordinales, junto con el primer innumerables ordinal, con el fin de topología. Esta no es la primera contables. Como un comentario sugieren, tal vez el autor quería decir que sólo metrizable los espacios son considerados?)

Answer 3

No estoy seguro si esto es parte de lo que te estás preguntando, pero va a llenar la prueba de Henno omitido (un poco demasiado largo para un comentario).

Vamos $\kappa >|\mathbb R|,$ $U$ y $U'$ ser distinto, abierto adecuada subconjuntos de a $I=[0,1],$ $\alpha<\beta<\kappa$ definir $U_{\alpha,\beta} \subseteq I^\kappa$ a ser la base del conjunto abierto con $U$ a $\alpha$-th, posición, $U'$ a $\beta$-ésima posición y $I$ en todas las demás. Deje $D\subset I^\kappa$ ser contables y la etiqueta $D=\{f_1,f_2,\ldots\}.$

Entonces, para $\alpha<\kappa$ definir el subconjunto de $\mathbb N$ $$ A_\alpha = \{i\in\mathbb N: f_i(\alpha)\in U\}.$$ Since $\kappa > 2^{\mathbb N},$ by pigeonhole, there are $\alpha<\beta < \kappa $ such that $A_{\alpha}=A_\beta.$ So $\forall f\D,$ either $f(\alpha)\en U$ and $f(\beta)\en U$ or $f(\alpha)\in I\setminus U$ and $f(\beta)\in I\setminus U.$ Thus $D\cap U_{\alpha,\beta} = \emptyset,$ so $$ D no es denso.