tratando de comprender

Question

Puedo tratar de entender mejor la parametrisation de la $n-$ámbito (supongamos $R=1$). Sé que es dada en $\mathbb R^{n+1}$ $$\begin{cases}\cos\theta _n\cos\theta _{n-1}...\cos\theta _1\\ \cos\theta _n...\cos\theta _2\sin\theta _1\\ \cos\theta _n...\cos\theta _3\sin\theta _2\\ \vdots \\\cos \theta _n\sin\theta _{n-1}\\ \sin\theta _n\end{cases},\quad \theta _i\in [0,2\pi[, i=1,...,n-1, \theta _n\in [-\pi/2,\pi/2]$$

Así, por $n=1$, es sólo $(\cos\theta ,\sin\theta )$ $\theta \in [0,2\pi]$ y en coordenadas cartesianas es $x^2+y^2=1$. Para $n=2$, hemos de tener en coordenadas cartesianas $$x^2+y^2+z^2=1,$$ Así, mediante el establecimiento $u^2=x^2+y^2$, tenemos la mitad del círculo en $Ouz$ parametrizadas por $(u,z)=(\cos\theta ,\sin\theta )$ $\theta \in [-\pi/2,\pi/2]$ y un círculo en $Oxy$ parmetrized por $(u\cos\varphi,u\sin\varphi)$$\varphi\in [0,2\pi[$. Al final, en $Oxyz$, obtenemos $$(x,y,z)=(\cos\theta \cos\varphi,\cos\theta \sin \varphi,\sin \theta )$$ with $\varphi\en [0,2\pi]$ and $\theta \[- \pi/2,\pi/2]$.

Sé que la ecuación cartesiana de una hypersphere está dado por $$x_1^2+\cdots+x_n^2=1.$$ Vamos a tomar $n=4$, lo $$x_1^2+\cdots+x_4^2=1.$$ Si sigo la construcción anterior, se debe tener una esfera en $Ox_1x_2x_3$ y un medio círculo en $Oux_4$ donde $u^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Por lo tanto, $(u,x_4)=(\cos \theta _1,\sin\theta _1)$ $\theta _1\in [-\pi,\pi]$ $$(x_1,x_2,x_3)=(u\cos\theta \cos\varphi,u\cos\theta \sin\varphi,u\sin\theta ),\quad \theta \in [-\pi/2,\pi/2],\varphi\in [0,2\pi],$$ y así $$(x_1,x_2,x_3,x_4)=(\cos\theta _1\cos\theta \cos\varphi,\cos\theta _1\cos\theta \sin\varphi,\cos\theta _1\sin\theta,\sin\theta _1 ),\quad \theta _1,\theta \in [-\pi/2,\pi/2],\varphi\in [0,2\pi].$$

Luego podemos continuar de esta manera, y por lo tanto, debemos obtener

$$\begin{cases}\cos\theta _n\cos\theta _{n-1}\cdots\cos\theta _1\\ \cos\theta _n\cdots\cos\theta _2\sin\theta _1\\ \cos\theta _n\cdots\cos\theta _3\sin\theta _2\\ \vdots \\\cos \theta _n\sin\theta _{n-1}\\ \sin\theta _n\end{cases},\quad \theta _1\in [0,2\pi[, \theta _i\in [-\pi/2,\pi/2], i=2,\cdots,n.\tag{E}$$

Pregunta 1 : ¿por Qué este tipo de construcción no funciona ?

Pregunta 2 : ¿Cuál sería la superficie obtenida por $(E)$?

Pregunta 3 : por último, ¿cómo se construye la $n$-esfera?

Answer 1

De hecho, para $n \geqslant 3$, el rango de los parámetros indicados al principio es incorrecto mientras que en (E) es la correcta. Para ver esto, considere la posibilidad de un punto arbitrario $(x_1, \cdots, x_{n + 1}) \in S^n$ tal que $x_1, \cdots, x_{n + 1} ≠ 0$. Supongamos que$$ \begin{cases} x_1 = \cos θ_1 \cos θ_2 \cdots \cos θ_n\\ x_2 = \sin θ_1 \cos θ_2 \cdots \cos θ_n\\ x_3 = \sin θ_2 \cos θ_3 \cdots \cos θ_n\\ \vdots\\ x_{n + 1} = \sin θ_n \end{casos}, $$ donde $θ_1, \cdots, θ_{n - 1} \in [0, 2π)$, $θ_n \in \left[\dfrac{π}{2}, \dfrac{π}{2}\right]$. Ahora tome$$ (θ_1', θ_2', θ_3', \cdots, θ_n') = \begin{cases} (θ_1 + π, π - θ_2, θ_3, \cdots, θ_n), & 0 < θ_1 < π,\ 0 < θ_2 < π\\ (θ_1 - π, π - θ_2, θ_3, \cdots, θ_n), & π < θ_1 < 2π,\ 0 < θ_2 < π\\ (θ_1 + π, 3π - θ_2, θ_3, \cdots, θ_n), & 0 < θ_1 < π,\ π < θ_2 < 2π\\ (θ_1 - π, 3π - θ_2, θ_3, \cdots, θ_n), & π < θ_1 < 2π,\ π < θ_2 < 2π \end{casos}, $$ a continuación,$(θ_1', \cdots, θ_n') \mapsto (x_1, \cdots, x_{n + 1})$.