Encontrar el mayor poder de 2017, que divide $2016^{{2017}^{2018}}+2018^{{2017}^{2016}}+2017^{{2016}^{2018}}$ Yo sé cómo hacer estos tipos de problemas si factorial se aplica con mayor entero función, pero ¿cómo se hace este problema? Debo usar el modulo de operaciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Kenny Lau
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Deje $v_{2017}(n)$ ser el más alto poder de $2017$ que divide $n$.
(Tenga en cuenta que $2017$ es primo.)
Una útil es el teorema de levantamiento del exponente:
- Si $p$ es una extraña primer, $p \mid x+y$, $p \nmid xy$, a continuación,$v_p(x^n - y^n) = v_p(x-y) + v_p(n)$.
- Si $p$ es una extraña primer y $n$ es impar, $p \mid x+y$, $p \nmid xy$, a continuación,$v_p(x^n + y^n) = v_p(x+y) + v_p(n)$.
Hay una declaración similar para $p=2$, pero no va a ser relevante aquí.
$$\begin{array}{cl} & v_{2017}\left( 2016^{{2017}^{2018}} + 1 \right) \\ =& v_{2017}\left( 2016^{{2017}^{2018}} + 1^{{2017}^{2018}} \right) \\ =& v_{2017}\left( 2016 + 1 \right) + v_{2017}({2017}^{2018}) \\ =& 1 + 2018 \\ =& 2019 \end{array}$$
$$\begin{array}{cl} & v_{2017}\left( 2018^{{2017}^{2016}} - 1 \right) \\ =& v_{2017}\left( 2018^{{2017}^{2016}} - 1^{{2017}^{2016}} \right) \\ =& v_{2017}\left( 2018 - 1 \right) + v_{2017}({2017}^{2016}) \\ =& 1 + 2016 \\ =& 2017 \end{array}$$
Y por último, $v_{2017}\left( 2017^{2016^{2018}} \right) = 2016^{2018}$.
Puesto que el $v_{2017}$ de los tres términos no son iguales, la valoración de su suma es el mínimo, es decir,$2017$. En conclusión, $2017^{2017}$ es el más alto poder de $2017$ que divide su cosa.
