Distribución de la proporción máxima de cabezas en una secuencia infinita de volteretas

Question

Deje $X_1, X_2, X_3, \dots$ ser independiente de las variables de cada uno de los cuales es $1$ con una probabilidad de $1/2$ $0$ lo contrario. Vamos $$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$ y definir $$Y = \sup_{n \geq 1} \frac{S_n}{n}$$

Con una probabilidad de $1$, "$\sup$" aquí puede ser sustituido por $\max$, ya que el $S_n/n$ se aproxima $1/2$ por la Ley de los Grandes Números. En particular, $Y$ es racional con una probabilidad de $1$. Tengo curiosidad de saber lo que se sabe y lo que se ha estudiado acerca de la distribución de $Y$. Por ejemplo, hay formas cerradas o límites en

• La expectativa y la varianza de $Y$?
• La probabilidad de que $Y=q$, para determinados racional $q$$1/2$$1$?
• La probabilidad de que $Y \leq \frac{1}{2}+\epsilon$, para un pequeño $\epsilon$?

Siento que esto es algo que tiene que ser bien estudiado, pero no estoy seguro de que los términos específicos para mirar debajo de ella.

Answer 1

La segunda pregunta, y de hecho, una versión general de Bernoulli variables (es decir, también para sesgada monedas), es completamente solucionado, con un poco explícita de la fórmula de la distribución de $Y$, en el papel de Wolfgang Stadje, El Promedio Máximo de Ganancia en una Secuencia de Bernoulli Juegos, La American Mathematical Monthly, Vol. 115, Nº 10 (Dic., 2008), pp 902-910.

El principal resultado es una secuencia de variables independientes $X_i'$$\mathbb{P}(X_i' = 1) = p \in (0,1)$$\mathbb{P}(X_i' = -1) = q = 1-p$, y el correspondiente $S_n' = \sum_{i=1}^n X_i'$$Y' = \sup \frac{S_n'}{n}$, los cuales son evidentes transformaciones afines de $X_i$, $S_n$, y $Y$ como se define en la pregunta.

Resultados:

1. $\mathbb{P}(Y' \in (p-q,1] \cap \mathbb{Q}) = 1$;
2. $\mathbb{P}(Y' = x) > 0$ por cada $x \in (p-q,1]$;
3. $\mathbb{P}(Y' = 1) = p$;
4. $\mathbb{P}(Y' = 0) = 0$ si $p \ge 1/2$;
5. $\mathbb{P}(Y' = 0) = p(1-p/q)$ si $p<1/2$;

La descripción de la distribución general es un poco más complicado, aquí es: Si $r/s \in (p-q,1)$ es un número racional en forma reducida, con denominador positivo, vamos a $f(z) = pz^{2s} - z^{s+r} + q$. Este es un polinomio de grado $2s$, por lo que ha $2s$ complejo ceros $z_0, \ldots, z_{2s-1}$. El trabajo muestra que la $s+r$ de las raíces se encuentran en la cerrada de la unidad de disco, entre los que siempre se $z=1$, y en el caso de que $s+r$ incluso $z = -1$, por lo que podemos suponer $z_0=1$, $|z_i| \le 1$ para $1 \le i \le s+r-1$, e $|z_i|>1$$s+r \le i \le 2s-1$. Si $s+r$ es incluso, que, además, asumir que $z_1 = -1$. Con esta configuración, los resultados son

6. $\mathbb{P}(Y' \le r/s) = \prod\limits_{i=r+s}^{2s-1} (1-z_i^{-1})$;
7. $\mathbb{P}(Y' = r/s) = \prod\limits_{i=r+s}^{2s-1} (1-z_i^{-1}) + p \prod\limits_{i=r+s}^{2s-1} (1-z_i)$

A partir de (6) con $r=1$ $s$ grandes, uno debe ser capaz de conseguir algo acerca de su tercera pregunta, pero no lo he probado para ver si es fácil o difícil.

Answer 2

No estoy seguro de que todos los términos que usted podría querer buscar bajo, pero yo incluiría "paseo aleatorio", ya que $P(Y\ge \frac{1}{2}+\epsilon)$ es simplemente la probabilidad de caer en el proverbial puente si es infinitamente amplia a la izquierda y cada vez más a la derecha a lo largo de una diagonal con una pendiente controlada por $\epsilon$.

Answer 3

Aquí está una imagen de la distribución de $Y$ $(\frac 12; 1)$ (no estoy mostrando la mitad superior, que es sólo un segmento vertical en $Y=1$)

Esta parcela se hizo con todas las fracciones de denominador a a $200$. Para$r = p/q$, $n=q-p$ raíces para encontrar, que al parecer, se puede obtener con el método de Newton partir de la $\exp((-1+2ik \pi)/n)$$k=0 \ldots n-1$. Que todo se alinee correctamente le gusta esto debería ser evidencia de que esta heurística obras.

Utilizando los datos de todos los puntos de da $0.77 \le E[Y] \le 0.85$ (la diferencia corresponde a la falta de probabilidad de masa, ahora me doy cuenta de que yo podía ser mucho más preciso aquí).

Yo creo que se puede demostrar, mirando a $r = 1- \frac 1n$ y el comportamiento de la única raíz de $x_n$$1-2x+x^n$, que no es una tangente horizontal en $(1,\frac 12)$ (en realidad debería converger de manera exponencial a $\frac 12$).

Para estudiar el comportamiento en $Y \approx \frac 12$, lo que uno podría necesitar para el estudio de las raíces de $1 - 2x^n + x^{2n+1}$, lo que parece un poco más difícil .