Espectro del operador de multiplicación

Question

¿Cómo demuestro que dado $a$ continua en $[0,1]$ entonces el operador $$A_a:L^2(0,1) \to L^2(0,1)$$ con $$A_a: f \to af$$ tiene exactamente el espectro $a([0,1])$ ?

Puedo demostrar que $a([0,1])^c \subset \text{Res}(A_a)$ pero no veo cómo mostrar lo contrario.

Answer 1

Para demostrar que $a([0,1])\subseteq \sigma(A_a)$ , dejemos que $\lambda \in a([0,1])$ para que exista $x\in [0,1]$ tal que $\lambda=a(x)$ . Entonces, para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta(\epsilon) > 0$ tal que $|a(x)-a(y)| < \epsilon$ siempre que $x\in [0,1]$ y $|x-y| < \delta(\epsilon)$ . Sea $\chi_{\epsilon}$ sea la función característica de $[0,1]\cap\chi_{(x-\epsilon,x+\epsilon)}$ . Entonces $$ \|(A-\lambda I)\chi_{\epsilon}\|_{L^2} \le \epsilon\|\chi_{\epsilon}\|_{L^2}. $$ De ello se deduce que $(A-\lambda I)$ no puede tener una inversa acotada. Por lo tanto $\lambda\in\sigma(A)$ lo que demuestra que $a([0,1])\subseteq \sigma(A_a)$ . Ha demostrado que $a([0,1])^c \subseteq \sigma(A_a)^c$ o $\sigma(A_a)\subseteq a([0,1])$ . Así que $a([0,1])=\sigma(A_a)$ .