Hay un no-unital anillo tal que uno de sus cociente del anillo es unital?

Question

Supongamos $R$ no es unital anillo, pero tiene un ideal $I$ tal que $R/I$ es unital, hace este tipo de animales existen?

Este problema surge cuando trato de mostrar "$R$ es unital, $R/I$ es el de la división del anillo, a continuación, $I$ es máxima. "Me pregunto si la condición de $R$ es unital se puede quitar o no.

Gracias de antemano.

Por cierto, es este tipo de problema significativo? Yo soy bastante adicto a este tipo de problemas, pero parece que a nadie le importa.

Answer 1

$R = 2 \mathbb Z$, $I = ( 6 )$

Answer 2

Echa un vistazo a la no-unital anillo conmutativo

$R = \Bbb Z \oplus 2\Bbb Z, \tag 1$

con el componente de sabios de la adición y la multiplicación. Deje $I \subset R$ ser el ideal

$I = \{(0, b) \mid b \in 2\Bbb Z \}; \tag 2$

a continuación, $R$ no tiene unidad, pero

$R/I \simeq \Bbb Z. \tag 3$

Answer 3

Sí, puede suceder. Considere por ejemplo,$R:=\{p\in\Bbb Z[x]:p(0)\in 2\Bbb Z\} $$I:=(2x-2,x^2-x)$.
A continuación, $2ax+I=2a+I$ $a\in\Bbb Z$ y por inducción, $x^n+I=x+I$, lo $x+I$ va a actuar como una identidad multiplicativa en $R/I$, y por el camino, $R/I\cong\Bbb Z$.