Demostrar que un conjunto está acotado.

Question

Sea $E = \{x \in\mathbb R^p : \sum_{i = p}^p X_i^2/\alpha_i^2 \leq 1\}$ Demostrar que $E$ es cerrado y acotado.

Para demostrar que $E$ es cerrado he utilizado el hecho de que la frontera del conjunto $E$ es igual a $\{x \in\mathbb R^p : \sum_{i = p}^p X_i^2/\alpha_i^2 = 1\}$ y el límite está contenido en el $E.$ Así que $E$ está cerrado.

Sin embargo, no sé cómo demostrar que está acotado.

Answer 1

Para ver que el conjunto

$E = \left \{ x = (X_1, X_2, \ldots X_p) \in \Bbb R^p \mid \displaystyle \sum_1^p \dfrac{X_i^2}{\alpha_i^2} \le 1 \right \} \tag 1$

está acotada, sea

$\mu = \max \{ \vert \alpha_i \vert, \; 1 \le i \le p \}; \tag 2$

entonces

$\dfrac{1}{\mu^2} \le \dfrac{1}{\vert \alpha_i \vert ^2} = \dfrac{1}{\alpha_i^2}, \; 1 \le i \le p, \tag 3$

de donde

$\dfrac{X_i^2}{\mu^2} \le \dfrac{X_i^2}{ \vert \alpha_i \vert^2} = \dfrac{X_i^2}{\alpha_i^2}, \; 1 \le i \le p; \tag 4$

entonces para $x = (X_1, X_2, \ldots, X_p) \in E$ tenemos

$\displaystyle \sum_1^p \dfrac{X_i^2}{\mu^2} \le \sum_1^p \dfrac{X_i^2}{\alpha^2} \le 1, \tag 5$

y, por tanto, al multiplicar por $\mu^2$ ,

$\displaystyle \sum_1^p X_i^2 \le \mu^2, \tag 6$

que demuestra que cada $x \in E$ se encuentra en la esfera de radio $\mu$ centrada en el origen; por tanto $E$ es un conjunto acotado.

En cuanto a $E$ estar cerrado, el enfoque más fácil aquí, creo, es mostrar que $\bar E$ el complemento de $E$ es abierta; para ver esto, utilizamos el hecho de que la función

$f(x) = \displaystyle \sum_1^p \dfrac{X_i^2}{\alpha_i^2} \tag 7$

es continua, lo cual creo que es bastante evidente; entonces claramente

$E = \{x \in \Bbb R^p \mid f(x) \le 1 \} = f^{-1}([0, 1]), \tag 8$

así que

$\bar E = \{x \in \Bbb R^p \mid f(x) > 1 \} = f^{-1}((1, \infty)); \tag 9$

dado que la imagen inversa de un conjunto abierto bajo un mapeo continuo es abierto, vemos que $\bar E$ está abierto en $\Bbb R^p$ de donde $E$ es cerrado, siendo el complemento del abierto $\bar E$ .

Answer 2

Sea $\alpha = max(\alpha_i)$ entonces si E es como lo has descrito anteriormente, entonces que $E_2$ sea la bola de radus igual a la longitud del semieje mayor ( definido como $max(\alpha_i)$ . Es evidente que E es un subeste de $E_2$ por lo que está acotada

Answer 3

Trate de obtener un límite inferior en $\sum\frac{x_i^2}{\alpha_i^2}$ que implica la norma euclidiana de $x$ . Por ejemplo:

$$\sum\frac{x_i^2}{\alpha_i^2}\geq\min_i\left(\frac1{\alpha_i^2}\right)||x||_2^2$$