Demostrar $(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \leq abc$ donde $a, b$ $c$ son números reales positivos

Question

He tratado de que el aritmético-geométrica de la desigualdad en $(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$, lo que da

$$(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$$

y en $abc$, lo que da

$$abc \leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3.$$

Dado que tanto la desigualdad de la misma mano derecha, me han tratado de deducir algo acerca de la izquierda lados, pero fue en vano. Puede alguien ayudarme, por favor? Estoy seguro de que es algo sencillo, me he perdido.

Answer 1

Caso 1. Si $a,b,c$ son las longitudes de un triángulo.

Desde $$ 2\sqrt{xy}\leq x+y\qquad 2\sqrt{yz}\leq y+z\qquad 2\sqrt{zx}\leq z+x $$ para $x,y,z\geq 0$, luego multiplicando este desigualdades obtenemos $$ 8xyz\leq(x+y)(y+z)(z+x) $$ Ahora sustituye $$ x=\frac{a+b-c}{2}\qquad y=\frac{a-b+c}{2}\qquad z=\frac{-a+b+c}{2}\qquad $$ Desde $a,b,c$ son las longitudes de triángulo, a continuación,$x,y,z\geq 0$, y el de sustitución es válido. A continuación, vamos a obtener $$ (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\leq abc\etiqueta{1} $$

Caso 2. Si $a,b,c$ no son las longitudes de un triángulo.

Entonces al menos uno de los factores en el lado izquierdo de la desigualdad $(1)$ es negativo. De hecho, el único factor es negativo. De hecho, sin pérdida de generalidad supongamos que $a+b-c<0$$a-b+c<0$,$a=0.5((a+b-c)+(a-b+c))<0$. La contradicción, por lo tanto el único factor es negativo. Como consecuencia del lado izquierdo de la desigualdad $(1)$ es negativo y el lado derecho es positivo, por lo $(1)$ obviamente tiene.

Answer 2

He aquí una prueba geométrica:

Si $a,b,c$ satisfacer la desigualdad de triángulo, vamos a $A$ ser el área del triángulo $T$ con longitudes de lado $a$, $b$, $c$. A continuación, la desigualdad se reduce a $$\frac{16A^2}{a+b+c} \leq abc$$ por la fórmula de Herón. Desde $A$ es positivo, esto es equivalente a $$\frac{2A}{a+b+c} \leq \frac{abc}{8A} \, .$$

Pero el lado izquierdo de esta última desigualdad es el inradius de $T$, mientras que el lado derecho es el radio de la $T$'s de nueve punto del círculo. Por tanto, la desigualdad sigue por el teorema de Feuerbach (EDIT: o de la mucho más simple y más elemental argumento dado aquí).

Si $a,b,c$ no satisfacen la desigualdad de triángulo, entonces la desigualdad es trivial, como se señaló anteriormente.

Answer 3

Aquí doy un detallados de la prueba. A pesar de los pasos que podría haber sido saltó mantenerlo corto.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $a\ge b \ge c$

Deje $$(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=S$$ $$\Rightarrow S=(-a+b+c)\{a-(b-c)\}\{a+(b-c)\}$$ $$\Rightarrow S=(-a+b+c)\{a^2-(b-c)^2\} $$ $$\Rightarrow S= (-a+b+c)\{a^2-b^2-c^2+2bc\}$$ $$\Rightarrow S=-(a^3+b^3+c^3)-2abc+b^2c+bc^2+ab^2+a^2b+ac^2+a^2c $$ $$\Rightarrow abc-S=(a^3+b^3+c^3)+3abc-(b^2c+bc^2+ab^2+a^2b+ac^2+a^2c) $$ $$\Rightarrow abc-S=(a^3-a^2b)+(b^3-b^2c)+(c^3-c^2a)+(abc-bc^2)+(abc-ab^2)+(abc-a^2c) $$$$\Rightarrow abc-S=a^2(a-b)+b^2(b-c)+c^2(c-a)+bc(a-c)+ab(c-b)+ac(b-a) $$ $$\Rightarrow abc-S=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)$$ $$\Rightarrow abc-S=(a-b)\{a(a-c)-b(b-c)\}+c(c-a)(c-b)$$ $$\Rightarrow abc-S=(a-b)^2\{a^2-b^2+c(b-a)\}+c(c-a)(c-b)$$ $$\Rightarrow abc-S=(a-b)^2\{a+b-c\}+c(c-a)(c-b)$$ Now $(c-a) \le 0$ and $(c-b) \le 0$ $$\Rightarrow c(c-a)(c-b)\ge 0 $$ and $$ (a-b)^2(a+b-c) \ge 0$$ This shows $$ abc-S \ge 0$$ $$\Rightarrow abc\ge S$$ $$\Rightarrow abc\ge (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) $$

Answer 4

La desigualdad es equivalente a

$\displaystyle \sum_{\text{cyc}} a^3 + 3abc \ge \displaystyle \sum_{\text{sym}} a^2b$,

que se desprende directamente de Schur de la Desigualdad.

Answer 5

Norbert respuesta explica el caso al $a,b,c$ no son los lados de un triángulo.

Deje $x,y,z$ ser como en esta imagen, donde $AB=c, BC=a, CA=b$.

Entonces $(a,b,c)=(y+z,x+z,x+y)$.$\,$ La desigualdad se convierte en $$8xyz\le (x+y)(y+z)(z+x),$$

que como Norberto dice es cierto por $2\sqrt{xy}\le x+y$ (prueba: $\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge 0$) y $2\sqrt{yz}\le y+z$$2\sqrt{zx}\le z+x$.

Algunos overkill enfoques: por Hölder la desigualdad: $$(x+y)(y+z)(z+x)\ge (\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{yzx})^3=8xyz$$

Por AM-GM: $$(x+y)(y+z)(z+x)-xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)$$ $$\ge (3\sqrt[3]{xyz})(3\sqrt[3]{xy\cdot yz\cdot zx})=9xyz$$

Por Cauchy-Schwarz: $$(z+x+y)(xy+yz+zx)\ge (\sqrt{z}\cdot \sqrt{xy} + \sqrt{x}\cdot \sqrt{yz}+\sqrt{y}\cdot \sqrt{zx})^2=9xyz$$

Por Muirhead la desigualdad:

$$(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz=\sum_{\text{sym}}x^2y^1z^0\ge \sum_{\text{sym}}x^1y^1z^1=6xyz,$$

debido a $(2,1,0)\succ (1,1,1)$. Último es cierto, también, por el reordenamiento de la desigualdad porque sugerencia: podemos dejar WLOG $x\ge y\ge z$$xy \ge zx\ge yz$.