Cualquier colección de los barrios de un denso conjunto de cubrir el espacio?

Question

Tratando de resolver un ejercicio, estoy tratando de ver si esto es cierto:

Deje $X$ un espacio de Hausdorff y $D\subset X$ denso. También vamos a una función $$f:D\to\wp(X),\quad x\mapsto U_x$$ where $U_x$ is a neighborhood of $x$. Then we can say that $X=\bigcup f(D)$?

Yo soy incapaz de demostrarlo, así que probablemente es falsa. Mi primera idea fue tomando cada una de las $U_x$ abrir, a continuación, $U:=\bigcup f(D)$ también está abierto y $U^\complement$ cerrado. Entonces, si mi afirmación sería verdadera, debe ser el caso que $U^\complement=\emptyset$, pero soy incapaz de mostrar esto.

Alguien puede confirmar si existe algún espacio de Hausdorff donde mi hipótesis no funciona? O, por el contrario, si mi hipótesis es cierta?

Answer 1

Esto es falso, incluso en la recta real. Deje $\{r_1,r_2,...\}$ ser un ennumeration de los racionales y considera los vecindarios $(r_n-\frac 1 {2^{n}},r_n+\frac 1 {2^{n}})$. Dado que la longitud total de estos intervalos es $\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {2^{n-1}}=2$, que no puede cubrir la totalidad de la línea. [ Si sabes teoría de la medida se puede ver la razón de inmediato. De lo contrario, usted puede ver que los intervalos ni siquiera cubren $[0,3]$ mediante el uso de una compacidad argumento.]

Answer 2

Si $y\notin D$, entonces usted puede elegir para $U_x=X-\{y\}$ por cada $x\in D$ - que es evidentemente un abrir barrio de $x$ en espacio de Hausdorff $X$.

A continuación, la unión de estos conjuntos es de nuevo $X-\{y\}\neq X$.

Apparantly que el enunciado es falso ya si $X$ $T_1$- espacio.