Volumen de cannoli

Question

Declaración del problema (ver imagen de abajo):
1. Envuelva la unidad de círculo sobre el cilindro con un radio de $r=1/\pi$, los bordes del círculo unitario se acaba de tocar uno al otro.
2. Retire el cilindro de relleno, cannoli con crema)).
3. Raspe el exceso de crema con borde recto a cabo de forma perpendicular a la cannoli eje y toque symmetic puntos de los bordes.

Encontrar el volumen de cannoli.
Esto me llevó a una difícil integral que no puedo resolver hasta ahora.

Aquí están mis pasos:

1. desde la figura es simmetrical podemos integrar de 0 a R=1:
   $V=2\int_0^R S(h)dh$ donde $S(h)$ es área en altura $h$
2. $S(h)$ es un segmento de círculo con un radio de $r=1/\pi$
3. La longitud de este segmento es: $l(h)=2\sqrt{R^2-h^2}$ (superior pic)

4. El ángulo de segmento correspondiente es $\phi={l(h)/ r}$ y su área es:
   $S(h)={1\over 2}r^2(\phi-\sin\phi)=r\sqrt{R^2-h^2}-{1 \over 2}r^2 \sin{2\sqrt{R^2-h^2} \over r}$ (imagen de la derecha)

5. $V=2r\int_0^R \sqrt{R^2-h^2}dh-r^2\int_0^R\sin{2\sqrt{R^2-h^2} \over r}dh$

Estoy siendo mal en algún lugar? Si la respuesta es 'no', a continuación, cómo tomar la 2 ª integral?

Answer 1

Su configuración parece totalmente correcto, pero también parece que la segunda integral no puede ser simplificado con el fin de ser resuelto de una manera fácil.

Podemos evaluar que la numérica, análisis de la configuración de $x=h/r$, ya que el $R/r=\pi$

$$r^2\int_0^R\sin{2\sqrt{R^2-h^2} \over r}dh=r^3\int_0^\pi \sin({2\sqrt{\pi^2-x^2}})\, dx $$

y obtenemos

$$I=-\int_0^\pi \sin({2\sqrt{\pi^2-x^2}})\, dx\approx 1.048066\dots$$

evaluación integral

Por lo tanto

$$V=\frac{\pi}2rR^2+I\cdot r^3\implies \frac{V}{R^3}=\frac12+\frac{I}{\pi^3}$$

Answer 2

Un add-on para gimusi la respuesta en la evaluación de las $\int_0^{\pi} x \sin \left( 2 \sqrt{\pi^2 - x^2}\right)\, dx$.

Sustituyendo $y =\pi^2 - x^2$$dy = -2x\, dx$, la integral se convierte en $$\frac{1}{2} \int_0^{\pi^2} \sin \left(2\sqrt{y}\right)\, dy.$$ Integration by parts $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ with $dv = dy$ and $u = \sin \left( 2 \sqrt{y} \right)\, dy$ gives $$ \int \sin \left(2\sqrt{y}\right)\, dy = y\sin \left( 2 \sqrt{y}\right) - \int \sqrt{y} \cos \left( 2 \sqrt{y} \right)\, dy.$$ By setting $z = \sqrt{y}$, the RHS integral may be made into $\int 2z^2 \cos (2z)\, dz$, lo que puede ser evaluado por repetir la integración por partes: \begin{align*} \int 2z^2 \cos (2z)\, dz &= z^2 \sin (2z) - \int 2z \sin(2z)\, dz \\ &= z^2 \sin (2z) + z \cos (2z) - \int \cos (2z)\, dz \\ &= \left( z^2 - \frac{1}{2}\right) \sin (2z) + z \cos (2z) + C \\ &= \left( y -\frac{1}{2} \right) \sin \left( 2\sqrt{y}\right) + \sqrt{y} \cos \left(2\sqrt{y}\right) + C \\ \end{align*} Por lo tanto tenemos \begin{align*}\int \sin \left(2\sqrt{y}\right)\, dy &= \frac{1}{2} \sin \left( 2\sqrt{y} \right) - \sqrt{y} \cos \left(2 \sqrt{y}\right) + C \\ \frac{1}{2} \int_0^{\pi^2} \sin \left( 2 \sqrt{y} \right) &= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{2} \sin 2\pi - \pi \cos 2\pi \right) - \left(\frac{1}{2} \sin 0 + 0 \cos 0\right) \right] \\ &= -\frac{\pi}{2} \end{align*} como gimusi encontrado.

Answer 3

Hombre, es mucho más fácil de comer cannoli, que para calcular su volumen.
Sin embargo, hay un error en el 4.
Usted debe reemplazar el $sin \phi$$cos \frac{\phi}{2}$.
Que no va a cambiar mucho de lo que desagradable integral en 5.