¿Cuántos de los números por debajo de $n$ con un número cuadrado de distintos factores primos?

Question

Hay una bonita forma cerrada de la expresión o fórmula asintótica para el número de los números por debajo de $n$ con un número cuadrado de distintos factores primos?

Motivación:

Como un estudiante que estudia matemáticas en mi tiempo libre, me encontré con algunas preguntas sobre el número de los números por debajo de ciertos límites que se adhieren a ciertas primaria factor de propiedades y más tarde fue la de pensar que, cuando se me ocurrió que hubo muchos que, aparentemente simple o natural, preguntas sobre "contando funciones" que nada sé puede ayudar con...

Así que, más generalmente, en la parte superior de una respuesta a los anteriores, existen buenos juegos de herramientas o piezas de maquinaria que puede, con alguna propiedad, dime el número de los números por debajo de $n$ con esa propiedad? (incluso si este toolkit funciona sólo para un subconjunto específico de propiedades, estaría interesado)

Answer 1

Deje $\pi_k(n)$ el número de enteros $\le n$ con exactamente $k$ distintos factores primos. Buscas $\sum_{m=1}^{\infty}\pi_{m^2}(n)=\pi(n)+\pi_4(n)+\pi_9(n)+\ldots$. Hardy y Ramanujan demostrado que el límite superior $$ \pi_k(n) < c(n/\log n) \cdot (\log\log n + d)^{k-1}/(k-1)!$$ for some constants $c$ and $$ d, y Erdös y Pillai (de forma independiente) demostró que el límite inferior $$ \pi_k(n) > c'(n/\log n) \cdot (\log\log n)^{k-1}/(k-1)! $$ para algunas constantes $c'$. Por lo tanto, poner las cosas juntos, usted tiene $$ \frac{c'(\log\log n)^{k-1}}{(k-1)!}<\frac{\pi_{k}(n)}{n/\log n}<\frac{c(\log\log n+d)^{k-1}}{(k-1)!}. $$ Tomando $g(z)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{z^{m^2-1}}{(m^2-1)!}$, usted tiene $$ c'g(\log \log n)<\frac{\sum_{m=1}^{\infty}\pi_{m^2}(n)}{n/\log n}<cg(\log\log n + d). $$ Actualización:

Después de pasar algún tiempo buscando en el crecimiento asintótico de funciones como $g(z)$, analítica con cada derivada en el origen igual a cero o uno... que me parece interesante y puede ser vale la pena su propia pregunta... creo que el $g(z)$ $\Theta(e^z / \sqrt{z})$ grandes $z$. Si eso es correcto, entonces, en el hecho de $$ \sum_{m=1}^{\infty}\pi_{m^2}(n)\in\Theta\left(\frac{n}{\sqrt{\log\log n}}\right). $$