Asymptotics para casi todos los $x$

Question

Teorema 2.2 en Shparlinski de 2006 dice:

Para todos los enteros positivos $n\le x$, excepto posiblemente $o(x)$ de ellos, el obligado $$M(x)\ll\frac{x}{\log x}\exp\left((C+o(1))(\log\log\log x)^2\right)$$ sostiene.

La "excepto posiblemente $o(x)$" parte parece debilitar sustancialmente la conclusión: podría ser un bloque de $x^{0.99}$ números donde este no espera, donde la función de recuento $M(x)$ podría aumentar dramáticamente. (Supongo que la desigualdad tiene que llevar a cabo de nuevo después de que el bloque, por lo que no podía darse el caso de que su valor aumenta en cada número impar en el bloque.)

Pero mirando en la prueba, no veo donde está la "excepto posiblemente $o(x)$" viene de. Así que tengo dos preguntas:

1. Es esta suposición es necesario, y si es así donde?
2. Dado que no podía ser un bloque de longitud $o(x)$ en el que la desigualdad no se sostiene, pero sabiendo que tiene antes y después del bloque, cuánto de una desviación es posible? En otras palabras, cuánta fuerza puede ser retenido cuando se cambia de "casi todos" a "para todos"? $M(x)=o(x)$ es evidente, pero se puede hacer más, creo.

Answer 1

Esto no puede ser, posiblemente, lo que Shparlinski medios. Él dice: "Para que [casi] todos los enteros positivos $n\le x$", pero la afirmación no tiene un $n$. Él debe significar simplemente la estimación del $M(x)$ tiene para todos los $x$.