Usando la regla de L'Hôpital para encontrar $\lim_{x\to\pi/2}(\tan x)(\ln \sin x)$

Question

Tengo

$$\lim_{x\to\pi/2}(\tan x)(\ln \sin x)$$

Y necesito resolverlo utilizando la regla de L'Hôpital. Me pueden dar la vuelta alrededor para conseguir $\;\; (0/1)\cdot0$

Pero no veo cómo conseguir $0/0$ a pasar a la derivación...

Edit: joder yo tenía el límite de malo

Answer 1

Reescribir:

$$\tan x\ln\sin x=\frac{\ln\sin x}{\cot x}\;.$$

Este es un estándar truco para lidiar con $0\cdot\infty$ formas: si $u\to 0$$v\to\infty$, luego $\frac1v\to 0$, $uv=\frac{u}{1/v}$, y se puede ver en la $\frac00$ formulario de lugar. A veces es mejor hacer la conversión de la otra manera, a la $\frac{\infty}{\infty}$ formulario $\frac{v}{1/u}$.

Answer 2

Tenga en cuenta también que puede reescribir $\;\color{blue}{\bf \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}},\;$ $$\lim_{x\to\pi/2}(\color{blue}{\bf \tan x})\cdot\ln (\sin x)\quad = \quad \lim_{x\to \pi/2} \frac{\color{blue}{\bf \sin x} \cdot \ln(\sin x)}{\color{blue}{\bf \cos x}},$$

lo que nos da la forma indeterminada de $\;\large\frac 00,\,$ y nos asegura que podemos aplicar L'Hôpital, como se desee.

Answer 3

Otra manera de encontrar el límite está usando la serie de Taylor

Tenemos: $ u=x-\dfrac{\pi}{2} $ con el fin de obtener el límite de $u \to 0$.

Como hemos utilizado un cambio de variable, debemos expresar todo en términos de la nueva variable.

Por lo tanto tenemos:

$$ L=\lim_{ x \to \frac{\pi}{2}} \tan x \ln\left( \sin x \right) =\lim_{ u \to 0} \tan \left(\frac{\pi}{2}-u \right) \ln\left( \sin \left(\frac{\pi}{2}-u \right) \right) $$

Recordamos algunas identidades trigonométricas:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-u \right)=\cos u $$ $$ \cos\left(\frac{\pi}{2}-u \right)=\sin u $$ $$ \tan\left(\frac{\pi}{2}-u \right)=\cot u $$

Tomando todo en términos de $ u $, tenemos

$$ L=\cot u \ln \left(\cos u\right) $$

Utilizando la serie de Taylor:

$$\cos x= x-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!} - \dfrac{x^{6}}{6!}+...+\sum_{n=0}^{\infty}{ } \frac{ \left( -1 \right) ^{n}}{ \left(2n \right)! } x^{2n} $$

$$\cos x= x- \dfrac{x^{2}}{2!}+O\left(x^{2} \right) $$

$$\sin x= x- \dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!} - \dfrac{x^{7}}{7!}+...+\sum_{n=0}^{∞}{ } \frac{ \left( -1 \right) ^{n}}{ \left(2n+1 \right)! } x^{2n+1} $$

$$\sin x= x- \dfrac{x^{3}}{3!}+O\left(x^{3} \right) $$

Con este límite, nos quedamos con:

$$ L\sim \lim_{ u \to 0} \dfrac{u- \dfrac{u^{2}}{2!}+O\left(u^{2} \right) }{u- \dfrac{u^{3}}{3!}+O\left(u^{3} \right)} \ln \left(u- \dfrac{u^{2}}{2!}+O\left(u^{2} \right) \right)=0 $$