Cambio de variables para $\iint_D x\sin(y-x^2) \, dA$

Question

Dejemos que $D$ sea la región del primer cuadrante de la $x,y$ -plano, delimitado por las curvas $y=x^2$ , $y=x^2+1$ , $x+y=1$ y $x+y=2$ .

Quiero encontrar un cambio de variables para $\iint_D x\sin(y-x^2) \, dA$ .

Desde $y-x^2=0$ , $y-x^2=1$ mi inclinación es dejar que $u=y-x^2$ y como $x+y=1$ y $x+y=2$ Quiero dejar que $v=x+y$ . Sin embargo, al resolver para $x$ en términos de $u$ y $v$ Me sale una cosa horrorosa.

¿Podría alguien proporcionarme una forma mejor de enfocar este problema? Gracias.

Answer 1

Aquí hay media respuesta. Tal vez ya hayas recorrido este camino:

Si dejas que $u=x^2, v=x+y$ algunas cosas son menos horribles. En primer lugar, el jacobiano es $\frac{1}{2x}$ que anula la primera $x$ en el integrando. La imagen previa $D^*$ del dominio está delimitado por $v=1, v=2, v=u+\sqrt{u},$ y $v=u+\sqrt{u}+1.$

A primera vista $D^*$ le tienta a integrarse en el orden $du \; dv.$ Pero te encuentras con el mismo horror resolviendo esas ecuaciones para $u$ . Pero felizmente, los 4 puntos de intersección no son tan malos y (aquí está la parte buena) los dos del medio tienen el mismo $u$ coordenadas $a=(3-\sqrt{5})/2$ . Así que puedes romper $D^*$ en dos regiones.

La primera región es $u=0$ a $a$ , $v=1$ a $u+\sqrt{u} +1$ .

La segunda región es $u = a$ a $1$ , $v=u+\sqrt{u}$ a $2$ .

Todo funciona a las mil maravillas hasta el final, cuando hay dos integrales:

$$\int_0^a \frac{1}{2} \cos(1-\sqrt{u}-u) \; du$$

y

$$\int_a^1 \frac{1}{2} \cos(2-\sqrt{u}-u) \; du.$$

Esperaba una sustitución inteligente que cambiara una de ellas por la otra y así se anularan. No he tenido suerte con eso hasta ahora.

Answer 2

He añadido una respuesta a otra pregunta que resuelve también esta cuestión o muestra dónde está el problema en general para evaluar esta integral: https://math.stackexchange.com/a/2876108/541516

Otro cambio de variable interesante que nos puede llevar mucho más lejos y mostrar que esta integral no puede ser evaluada hasta la solución de forma cerrada sin expansión en serie, sería quitar $x$ en la integral. Veamos que tenemos $x^2$ dentro de $\sin(\cdot)$ que puede hacer que esto ocurra.

Déjalo, $k = x^2$ y mantener $y$ tal cual, lo que da un jacobiano de $1/2x$ y se anula con el $x$ . Ahora, aunque tenemos $\sin(y-k)$ tipo de estructura que podemos ampliar mediante la identidad trigonométrica de $\sin(A-B)$ en dos partes cuando la función de $k$ y $y$ son independientes, es mejor hacer un cambio de otra variable que haga que los límites integrales estén asociados a $y$ a límites fijos.

Veremos que ahora las curvas límite son de la forma $y-k = c$ y $\sqrt k + y = c$ .

Así, podemos tomar una nueva variable $t = y-k$ que realmente hace esto, haciendo que los límites para $t$ sea de 0 a 1. Límites para $k$ se consideran dependientes de t y de la forma $\sqrt k + k + t = c$ . Ahora la función interna es simplemente $sin(t)$ que se puede sacar de la integral con $k$ . Ahora para evaluar la integral con $k$ sólo tenemos que evaluar los límites, es decir $\sqrt k + k + t = 1$ y $\sqrt k + k + t = 2$ . Si resolvemos las ecuaciones cuadráticas en $\sqrt k$ y luego tomar al cuadrado el positivo de la solución cuadrática que es ( $-1 + \sqrt{1 + 4(c-t)}$ )/2, obtenemos, constantes, $t$ términos y $\sqrt{c-t}$ tipo de términos. Y recuerde que un $sin(t)$ ¡nos espera y los límites son de 0 a 1 en la variable t!

Ahora, $\sin(t)$ puede ser evaluado, $t \sin(t)$ es bien conocida por integración por partes. La parte problemática son los términos con la estructura $\sqrt{c-t} \sin(t)$ . Para obtener la rigidez de c (que aquí es 1 y 2), podemos hacer la transformación de la variable y $p = c-t$ que nos trae una estructura $\sqrt p \sin(c - p)$ que es similar a la estructura general, $\sqrt p \sin(p)$ mediante la ampliación de $\sin(c - p)$ .

Así que, ahora a esto $\sqrt{p} \sin(p)$ cuando hacemos integración por partes, esto termina teniendo una integral de $cos(p)/\sqrt{p}$ para ser evaluado, que en la transformación de la variable $p = u^2$ da la integral de $\cos(u^2)$ que además no se puede simplificar a mano y se suele denominar integral de Fresnel que tiene expansión en serie ( ver https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral ).

PD: Me he centrado sólo en los términos duros y he ignorado los signos, las constantes y otros términos fáciles que provienen de la integración por partes sólo para tener una idea transparente de lo que crea el problema, espero que sea comprensible, hazme saber si alguna parte no está clara.