El complejo de Koszul localmente libre de poleas

Question

Deje $X$ ser una compleja variedad; también se puede suponer que es suave si esto le ayuda. $\mathcal{E}$ es un local libre gavilla de rango $r$$X$, e $s \in H^0(X, \mathcal{E})$. Entonces uno tiene un complejo de Koszul contratantes $s$:

$$0 \to \wedge^r \mathcal{E}^\vee \to \wedge^{r-1} \mathcal{E}^\vee \to \cdots \to \wedge^2 \mathcal{E}^\vee \to \mathcal{E}^\vee \to 1 \to 0.$$

A continuación, se afirma (c.f. Fulton: Intersección De La Teoría, P431, B. 3.4) este complejo de Koszul es exacta en $X - Z(s)$. ¿Alguien puede dar una explicación de esta afirmación?

Answer 1

Esto funciona para cada localmente anillado espacio de $X$. Desde exactitud puede ser probado stalkwise, podemos suponer que la $\mathcal{E}$ es un módulo más de un (local) anillo de $R$. Una de las secciones $s_i$ genera $\mathcal{E}$. Pero entonces podemos usar el habitual Koszul resolución (Weibel, Una introducción al álgebra homológica, Corolario 4.5.5):

Para una secuencia regular $s_1,\dotsc,s_r$ en un anillo conmutativo $R$, la secuencia de

$0 \to \wedge^r R^r \to \dotsc \to \wedge^2 R^r \to R^r \xrightarrow{s} R \to R/(s_1,\dotsc,s_r) \to 0$

es exacto.

En su caso, $s_i \in R^*$ algunos $i$, por lo tanto la secuencia es regular, y $R/(s_1,\dotsc,s_r)=0$. Como alternativa, en este caso, uno puede escribir una explícita de la cadena de contracción.