Mostrar que $$\frac xy + \frac yz + \frac zx \ge 1 + \frac {z + x}{x + y} + \frac {x + y}{z + x}$$ para $x, y, z \gt 0$.
He observado que este es un homogénea de la desigualdad, de manera normalización podría funcionar. Empecé a $x = 1$ o $xyz = 1$ o $x + y + z = 1$, pero ninguno de estos rendimientos de una solución. ¿Cómo puedo resolver este problema? En particular, ¿qué puedo hacer con el plazo $1$? Todas las sugerencias serán apreciados.
El uso de CS de la desigualdad en forma ligeramente diferente, $$\frac{x}y + \frac{y}z + \frac{z}x + 1 \geqslant \frac{(x+y+z+x)^2}{xy+yz+zx+x^2} = \frac{(\color{red}{x+y}\:+\:\color{blue}{z+x})^2}{(\color{red}{x+y})\cdot(\color{blue}{z+x})} = \frac{x+y}{z+x}+2 + \frac{z+x}{x+y}$$
El cíclico homólogos de la desigualdad puede ser demostrado de manera similar.
Adenda: la desigualdad anterior es, quizás, visto por más simple $$\frac{x}y + \frac{y}z + \frac{z}x + 1 = \frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{x^2}{x^2} \geqslant \frac{(x+y+z+x)^2}{xy+yz+zx+x^2} $$ el CS formulario se llama "Titu del lexema" y es una útil herramienta para tener.
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