¿Qué es un polinomio primitivo? Estaba investigando algunos algoritmos de generación de números aleatorios y 'polinomio primitivo' surgió un número suficiente de veces que decidí investigarlo en más detalle.
No estoy seguro de qué es un polinomio primitivo y por qué es útil para estos generadores de números aleatorios.
Me resultaría particularmente útil si se pudiera proporcionar un ejemplo de un polinomio primitivo.
Consideremos un campo finito $F_p$, entonces sabemos que es cíclico. Llamamos a un elemento primitivo si genera este campo. Además, dado un campo y algún polinomio sobre ese campo (todos los coeficientes están en el campo), podemos formar una extensión del campo por alguna de sus raíces. Esto es adicionar esa raíz y hacer un campo de ella.
Es un resultado simple de la Teoría de Galois que si tomamos un campo y lo extendemos por alguna raíz de algún polinomio y obtenemos una extensión finita (cuyo grado como espacio vectorial sobre el campo original es finito), entonces podemos encontrar un polinomio $m$ sobre nuestro campo base tal que $m$ se anula en esta raíz y es minimal (menor grado, es decir, divide a todos los demás polinomios que se anulan en esta raíz).
Si consideramos un elemento primitivo y su polinomio minimal, ese polinomio es llamado primitivo.
Más detalles en wiki.
Basándose en el hecho de que Cam está mirando el RNG, parece que algo relacionado con campos finitos (en particular F_2) es más probable. Pero sí, eso es lo que pensé al principio.
Estoy completamente de acuerdo, pero más adelante a la gente le podría resultar interesante el título de esta pregunta, por lo que al menos esta respuesta debería estar aquí.
Ver esto: y referencias relacionadas allí, hay un algoritmo para verificar si un polinomio es primitivo o no. CÁLCULO DE POLINOMIOS PRIMITIVOS - TEORÍA Y ALGORITMO
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Para determinar a qué sentido de polinomio primitivo se refiere, probablemente deberías proporcionar algo más de contexto. Idealmente, un extracto de lo que estás revisando.
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@Qiaochu Yuan: Estoy revisando la versión de 'polinomios primitivos' que está descrita en la respuesta de BBishcof.
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En ese caso, ¿es clara mi respuesta, o todavía estás confundido en algo?
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@BBischof: Tu respuesta es buena, pero en una pregunta de explicación como esta (en comparación con una pregunta de una sola respuesta correcta) generalmente me gusta dar un poco de tiempo para que otros respondan. En este punto, sin embargo, han pasado 24 horas, así que la aceptaré.