la geometría algebraica ejercicio: infinito subconjunto denso

Question

Una hipersuperficie $C \subset \mathbb{A}^2$ llamamos un plano de la curva. Demostrar que cualquier subconjunto infinito de una irreductible plano de la curva de $C \subset \mathbb{A}^2$ es denso en $C.$

Nota. Llamamos hipersuperficie el ajuste a cero de la $Z(f)$ de un no-constante polinomio $f \in k[x_1,\ldots,x_n],$ y no sabemos la dimensión de una hipersuperficie, ni que $\dim \mathbb{A}^n=n.$

Edit: $k$ algebraicamente cerrado.

Answer 1

Sugerencia: Cada plano de la curva es homeomórficos (aunque no isomorfos!!) a $\mathbb{A}^1$ (żpor qué?). Por lo que es suficiente para mostrar que cada subconjunto infinito de $\mathbb{A}^1$ es denso en $\mathbb{A}^1$. Esto viene abajo (por qué?) el hecho de que el único polinomio en $k[x]$ tener una infinidad de ceros es el polinomio cero.

Edit: debo añadir que he a $k$ algebraicamente cerrado de mente.