Funciones trigonométricas para números complejos

Question

Creí que había definido lo que era cos(ai) y sin(ai) hoy mismo cuando hice lo siguiente:

$e^{(vi)} = \cos(v) + i\sin(v)$
Si dejamos que $v = ai$ donde a es real, obtenemos:
$e^{(aii)} = \cos(ai) + i\sin(ai) = e^{(-a)}$
Desde $e^{(-a)}$ es un número real, el $i\sin(ai)$ debe ser 0, y por lo tanto $\cos(ai)$ debe ser $e^{(-a)}$ .
Así que he llegado a la conclusión de que $\cos(ai) = e^{(-a)}$ y $\sin(ai) = 0$

Estoy bastante seguro de que esto es incorrecto ya que he visto diferentes respuestas en línea, pero me gustaría saber qué hice mal.

Gracias

Answer 1

Vale la pena conocer estas identidades:

$$\cos it = \cosh t$$ $$\sin it = i \sinh t$$

Supongo que estás familiarizado con las funciones hiperbólicas $\cosh$ y $\sinh$ . Suelen definirse como $\cosh t \equiv \frac12(e^t+e^{-t})$ y $\sinh t \equiv \frac12(e^t-e^{-t})$ .

Estas funciones tienen propiedades paralelas a las de las funciones circulares.

Por lo tanto, es cierto que $\cos it$ es un número real cuando $t$ es real.

Adenda: Una forma fácil de recordar esto es que es completamente análogo a cómo se maneja el signo con las funciones circulares: $\cos(-t)=\cos t$ y $\sin(-t)=-\sin t$ .

Answer 2

Esto está mal. De hecho, tanto el coseno como el seno podrían ser complejos, pero los bits imaginarios se cancelan.

Puedes encontrar lo que sale en en Wikipedia .

Answer 3

Si $z$ es un número complejo y $z=u+iv$ no se deduce que $u=Re(z)$ y $v= Im(z)$ ¡!

Ejemplo: $2+2i$ puede escribirse como

$$(1+i)+i(1-i).$$

Answer 4

¡Es un ejercicio interesante! Sin embargo, el problema que tienes es que no sabes qué $\sin(ai)$ y $\cos(ai)$ son. Así que, en su lugar, puede intentar verificar que sus resultados no sean complejos.

Pista: Intenta escribir la expansión taylor de $e^{-a},\cos{(ai)}$ y $\sin{(ai)}$

Answer 5

La cosa es $\sin{(ai)}$ es complejo y no real, por lo que no se puede decir $\cos{(ai)}$ y $\sin{(ai)}$ ambos iguales a cero.