Hesaplamak

Question

No muchos de los problemas de matemáticas tocón de mí, pero esta suma me tiene perplejo. Alguien puede dar una solución a este resumen: $$\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ \left[ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ k^{ 2 }+k+1 } \right) } -\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 2 }{ k^2+2k+1 } \right) } \right] }$$

Answer 1

Así tenemos:

$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\beta)}$$

Así:

$$\alpha - \beta = \tan^{-1}\left(\frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\beta)}\right)$$

Siempre $\alpha - \beta$ está en el rango de $(-\pi/2,\pi/2)$.

Si $\alpha = \tan^{-1}(x)$$\beta = \tan^{-1}(y)$, esto nos da:

$$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x - y}{1 + xy}\right)$$

Que vale para todos los números reales con a $xy > -1$. En particular,

$$\tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k) = \tan^{-1}\left(\frac{(k + 1) - k}{1 + k(k+1)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{k^2 + k + 1}\right)$$

Esto le permite evaluar:

$$\sum_{k = 0}^{n} \tan^{-1}\left(\frac{1}{k^2 + k + 1}\right) = \tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1}(0) \rightarrow \frac{\pi}{2}$$

No estoy seguro sobre el otro término. Si se $\tan^{-1}\left(\frac{2}{k^2 + 2k + 1}\right)$ puedes hacer un truco similar:

$$\tan^{-1}(k + 2) - \tan^{-1}(k) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{k^2 + 2k + 1}\right)$$

Y así:

$$\sum_{k = 0}^{n} \tan^{-1}\left(\frac{2}{k^2 + 2k + 1}\right) = \tan^{-1}(n + 2) + \tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \rightarrow \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$$

Como es, estoy perplejo. Wolfram Alpha le da una forma cerrada: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+desde+k+%3D+1+a+infinito+de+tan%5E%28-1%29%281%2Fk%5E2%29.