¿Para cuáles primos p es$p^2 + 2$ también primo?

Question

Origen de las escuelas Elementales de la Teoría de números - Jones - p35 - Ejercicio 2.17 -

Sólo para $p = 3$. Si $p \neq 3$ $p = 3q ± 1$ para algunos entero $q$, por lo que $p^2 + 2 = 9q^2 ± 6q + 3$ es divisible por $3$, y por lo tanto es compuesto.

(1) La clave aquí se ve como la escritura de $p = 3q ± 1$. ¿Dónde esta el granizo?
Me conocen a $3q - 1, 3q, 3q + 1$ son consecutivos.

(2) ¿Cómo se puede prefigurar $p = 3$ es la única solución? En un examen, no puedo calcular el $p^2 + 2$ para muchos de los números primos $p$ con un ordenador o hacer conjeturas al azar.

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Matt Correo editada por respuesta -

E. g. cualquier cuadrado es $\color{purple}0$ o $\color{teal}1$ $\begin{cases}\mod 3, & \text{ depending on whether or not $3$ divides $x$} \\ \mod 4, & \text{depending on whether or not $2$ divides the number being squared} \end{cases}$,
y $0,$ $1$, o $4$ mod $8$ (dependiendo de si o no $2$ o $4$ dividir el número al cuadrado).

Por lo tanto, cuando usted ve $p^2 + 2$, usted debe pensar en: $\begin{cases} = \color{purple}0 + 2 & \mod3 \text{ , if $3$ divides $p$} \\ = \color{teal}1 + 2 \equiv 0 & \mod3 \text{ , if $3 \| p$} \end{cases}$.

(3) por favor alguien Puede aclarar por qué me prefigurar o pensar mod 3 mod 4 mod 8?
Por qué no considerar el mod de algunos aleatoria de número natural?

(4) El último párrafo se considera mod 3. ¿Cómo puedo prefigurar esto?

Answer 1

Usa el pequeño teorema de Fermat.

Si$\gcd(p,3) = 1$,$p^2 \equiv 1 \pmod 3$ da$p^2 + 2\equiv 3 \pmod 3$.

Por lo tanto, la única posibilidad es$p = 3$

Answer 2

% Toque $\ $aplicar caso especial $\,q=3\,$ de los siguientes

Teorema de $\ $ si $\ p,\,q\ $ y $\,r = p^{q-1}!+q!-!1\,$ son todos prime luego $\, p = q$.

Prueba $\, $ si $\,p\ne q\,$ y $\,q\nmid p\,$ por lo tanto, un poco Fermat, $\,q\mid \color{#c00}{p^{q-1!}-1}\,$ % que $\ \color{#0a0}{q\mid r}\,=\, \color{#c00}{p^{q-1}!-1}+q$. Sin embargo $\,p,q \ge 2\,$ % que $\,p^{q-1}!\ge 2\,$para cebar $\,r> q,\,$ $\,\color{#0a0}q\,$ es un factor de $\color{#0a0}{proper}$ $\,r,\,$ contra $\,r\,$. $\ \ $ QED

Answer 3

Puede escribirse cualquier número entero $n$ $3q\pm1, 3q$ $q$ Dónde está un número entero

Ahora podemos descartar inmediatamente $3q$ ya que es compuesto para $q>1$

Ahora $\displaystyle(3q\pm1)^2+2=9q^2\pm6q+3=3(3q^2\pm2q+1)$

Observe que $3q^2\pm2q+1>1$ $q\ge1,$ por lo tanto es compuesto $\displaystyle(3q\pm1)^2+2$

Answer 4

Cada vez que usted vea una cantidad de la forma $x^2 + a$ en un número básico de la teoría de curso (especialmente en hw. o en un examen), usted querrá pensar acerca de lo que divisibilities tiene por varios números pequeños.

E. g. cualquier cuadrado es $\color{purple}0$ o $\color{teal}1$ $\begin{cases}\mod 3, & \text{ depending on whether or not $3$ divides $x$} \\ \mod 4, & \text{depending on whether or not $2$ divides the number being squared} \end{cases}$,
y $0,$ $1$, o $4$ mod $8$ (dependiendo de si o no $2$ o $4$ dividir el número al cuadrado).

Por lo tanto, cuando usted ve $p^2 + 2$, usted debe pensar en: $\begin{cases} = \color{purple}0 + 2 & \mod3 \text{ , if $3$ divides $p$} \\ = \color{teal}1 + 2 \equiv 0 & \mod3 \text{ , if $3 \| p$} \end{cases}$.
Dado que la única privilegiada que puede ser $0$ mod $3$ $3$ (e $p^2 + 2$ sin duda será $> 3$), lo que responde a tu pregunta inmediatamente.