¿Cómo podemos comprobar la propiedad de encolado de la gavilla de ideales?

Question

Para un espacio anillado $(X,\mathcal{O}_X)$ se puede definir una gavilla de ideales $\mathcal{J}$ de $\mathcal{O}_X$ . Entonces, ¿cómo podemos ver el $\mathcal{J}$ satisface las condiciones de la gavilla? Especialmente, no puedo demostrar la propiedad de encolado. Para un conjunto abierto $U$ y dada la cobertura abierta $\{U_i\}$ , $s_i\in \mathcal{J}(U_i)$ con $s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}$ para todos $i,j$ podemos encontrar $s\in \mathcal{O}_X(U)$ que satisface $s|_{U_i}=s_i$ . Pero, ¿cómo puedo garantizar $s\in \mathcal{J}(U)$ ?

¿Se puede demostrar con la simple definición de gavilla de ideales?

Answer 1

Sólo un comentario: Para gavillas ideales, y más generalmente subgavillas de una gavilla, la condición de gavilla se simplifica un poco. Si $F$ es un conjunto (digamos grupos abelianos), entonces un subconjunto $G$ de $F$ está dada por los subgrupos $G(U) \subseteq F(U)$ para todas las aperturas $U$ con las siguientes propiedades:

• Si $s \in G(U)$ y $V \subseteq U$ entonces $s|_V \in F(V)$ ya se encuentra en $G(V)$ .
• Si $U = \cup_i U_i$ y $s \in F(U)$ tiene la propiedad de que $s|_{U_i} \in G(U_i)$ para todos $i$ entonces ya se deduce que $s \in G(U)$ .

Si $F$ es la gavilla de estructura de un espacio anillado, esto da una descripción de gavillas ideales que es realmente útil en la práctica.

Answer 2

Una gavilla de ideales de $\mathscr{O}_X$ es un sub- $\mathscr{O}_X$ -módulo de $\mathscr{O}_X$ (EGA, 0, 4.1.3), por lo que ya es una gavilla por definición. Si simplemente se asigna a cada abierto $U \subset X$ un ideal $\Gamma(U,\mathscr{I}) \subset \Gamma(U,\mathscr{O}_X)$ no se obtendrá necesariamente una gavilla de ideales (o incluso una pregavilla).