Dos números que no pueden ser cuadrados

Question

Me preguntaba por dónde empezar con la siguiente pregunta:

Espectáculo para $a,b \in \mathbb{N}$ que $a+b^2$ $a^2+b$ no puede ser ambos cuadrados.

Aquí $\mathbb{N}$ es de los enteros positivos ($0$ no incluido).

Answer 1

Considere la posibilidad de $a < b$:

Claramente, $b^2 < a+b^2$. Además, vemos que $$ a+b^2 < b + b^2 = b(b+1) < (b+1)^2 $$ Por lo tanto, $b^2 < a+b^2 < (b+1)^2$. Por lo tanto, $a+b^2$ no es un cuadrado. Por otro lado, $a^2+b$ puede ser un cuadrado, dependiendo de la elección de $a$$b$.

Si tenemos $a=b$, entonces ninguno de los $a^2+b$ ni $a+b^2$ son cuadrados, como se podría simplificar a $a(a+1)$.