Existencia de un conjunto especial en $\mathbb{R}^2$

Question

Sea $X$ sea un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}^2$ que satisfagan las siguientes propiedades:

1. Cada punto de $X$ es un punto límite de $X$ . ( Bajo la topología de distancia en $ \mathbb{R}^2$ )

2. Ningún punto racional pertenece a $X$ . (Llamamos punto racional a un punto cuyas dos coordenadas en $\mathbb{R}^2$ son ambos números racionales)

3. $X$ está cerrado.

¿Este conjunto $X$ ¿Existen?

Si dicho conjunto $X$ existe, entonces cualquier punto racional en $\mathbb{R}^2$ no es un punto límite de $X$ . Pero no se como seguir. Cualquier pista será bienvenida.

Edición: ¡Gracias por la ayuda de todos! Consideremos otra pregunta: ¿Qué pasa si cambiamos $\mathbb{R}^2$ en el problema en $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Prueba el gráfico $xy = \sqrt{2}$ . Es evidente que no puede contener ningún punto racional, ya que $\sqrt{2}$ es irracional. La vecindad de cualquier punto contiene a otro punto, por lo que cada punto es un punto límite y es claramente cerrado (como imagen inversa de $\{\sqrt{2}\}$ bajo el mapa continuo $(x,y) \mapsto xy$ .

Para un ejemplo más sencillo, la línea $x+y = \sqrt{2}$ para $x,y \geq 0$ también funciona por las mismas razones.

Answer 2

Tal vez podrías intentar esto:

$$X=\mathbb{R}\times\{\pi\}$$