Según @harald-hanche-olsen la suma de los pisos de los ratios de $n/k$ es de aproximadamente:
$$n(\ln n-1-\ln2)<\sum_{k=2}^{n-1}\Bigl\lfloor \frac nk\Bigr\rfloor<n\ln n.$$
Si la factorización prima de $n$ es conocido (es decir, si $n=\Pi_i{k_i^{\alpha_i}}$), una aproximación más cercana obtenerse?
En mi caso el valor exacto de $n$ no es importante, sólo la exactitud de la suma de los pisos de las proporciones. Un enfoque es permitir $n=\Pi^p_i{i}$, por lo que la primera $p$ sumas sería exacto (igual a $nH_p$ donde $H_p$ $p^{th}$ número armónico) y la aproximación sólo es necesaria para:
$$ \sum_{k=p+1}^{n-1}\Bigl\lfloor \frac{\Pi^p_i{i}}k\Bigr\rfloor $$
La reducción en el rango es marginal el uso de este enfoque: se puede expresar como: $$nH_p+n(\ln n-1-\ln2)-p(\ln p-1-\ln2)\le\sum_{k=2}^{n-1}\Bigl\lfloor \frac nk\Bigr\rfloor\le nH_p+n\ln n-p\ln p.$$
Otras optimizaciones puede ser posible. Por ejemplo:
Si $n=p^{2^k}$ $n\Pi_{i=0}^k(1+p^{-2^i})$ sumas de dinero para todas las combinaciones de factores de $p^0$ $p^{2^k}$Si $n=4!=24$ $$\sum_{k=2}^{n-1}\Bigl\lfloor \frac nk\Bigr\rfloor=12+8+6+\Bigl\lfloor \frac {24}5\Bigr\rfloor+4*(6-5)+3*(8-6)+2*(12-8)+1*(24-12)$$ So the biggest region of uncertainty for a factorial $f!$ lies between $f<k<f-1)!$. Furthermore we have $$((f-1)!-1)((f-1)!-f-1) < \sum_{k=f+1}^{(f-1)!-1}\Bigl\lfloor \frac nk\Bigr\rfloor < f((f-1)!-f-1)$$Editar
La respuesta debe ser en forma de:
Dado:
$$ a_v <= \sum_{k}^{v-1}\Bigl\lfloor \frac{v}k\Bigr\rfloor <= a_v+\mathcal{S}(\sqrt{v})\\ a_u <= \sum_{k}^{u-1}\Bigl\lfloor \frac{u}k\Bigr\rfloor <= a_u+\mathcal{S}(\sqrt{u}) $$
Conclusión: existe un método para calcular los $a_{uv}$ tal forma que: $$ a_{uv} <= \sum_{k}^{uv-1}\Bigl\lfloor \frac{uv}k\Bigr\rfloor <= a_{uv} + \xi \text{ donde } \xi << \mathcal{S}(\sqrt{uv}) $$
