Cómo resolver rápidamente $y=\int_{-\pi/4 }^{\pi/4 } \left[\cos x + \sqrt{1+x^2}\sin^3x\cos^3x\right]dx$ ?

Question

Actualmente estoy tratando de resolver $$y=\int_{-\pi/4 }^{\pi/4 } \left[\cos x + \sqrt{1+x^2}\sin^3x\cos^3x\right]dx,$$ que es un problema del examen de matemáticas del GRE. Pude obtener la respuesta ( $\sqrt{2}$ ) al descomponer la integral $$\int_{-\pi/4 }^{\pi/4 } \cos x \ dx+\int_{-\pi/4 }^{\pi/4 } \sqrt{1+x^2}\sin^3x\cos^3x \ dx.$$ Entonces utilicé $$1+x^2=(z-x)^2$$ para conseguir $$t=\frac{z^2-1}{2z}$$ así como $$\sin x = \frac{2z}{1+z^2}, \ \ \cos x = \frac{1-z^2}{1+z^2}, \ \ dx = \frac{2 \ dz}{1+z^2}.$$ Tenga en cuenta que $$z=\tan(x/2).$$ A continuación, los he introducido en $$\int_{-\pi/4 }^{\pi/4 }\sqrt{1+x^2}\sin^3x\cos^3x \ dx$$ para conseguir algo bastante feo \begin{align*} &\int_{-\tan{\pi/8}}^{\tan{\pi/8}}\sqrt{1+ \frac{z^2-1}{2z}^2 } \cdot\left( \frac{2z}{1+z^2}\right)^3\cdot\left(\frac{1-z^2}{1+z^2}\right)^3\cdot\left(\frac{2}{1+z^2}\right)dz \\ &= \int_{-\tan{\pi/8}}^{\tan{\pi/8}} \frac{16 z^3 (1 - z^2)^3 \sqrt{\frac{(z^2 - 1)^2}{4 z^2} + 1}}{(z^2 + 1)^7}dz. \end{align*} Como se trata de una función impar, la solución es $0$ y por lo tanto $$y=\int_{-\pi/4 }^{\pi/4 } \cos x \ dx + 0 =\sqrt{2}.$$ Aunque he podido llegar a la respuesta, imagino que en el examen de la asignatura de matemáticas del GRE, no habría tenido tiempo suficiente para resolver todo esto. ¿Hay algún truco para resolver rápidamente integrales definidas como ésta?

Answer 1

Sugerencia . La función $$ x \mapsto \sqrt{1+x^2}\sin^3x\cos^3x, \qquad x \in \left[-\frac{\pi}4, \frac{\pi}4\right] $$ es impar tal cual $x \mapsto \sin (x)$ .

Answer 2

Si ha notado que $\sqrt{1+x^2}\sin^3 x \cos^3 x$ fuera una función impar, se obtendría inmediatamente ese $$\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sqrt{1+x^2}\sin^3 x \cos^3 x\,dx = 0,$$

y por lo tanto, la integral dada se simplifica a sólo $y = \displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos x\,dx$ .