Número de 5 alta lowball manos en una mano de 7 cartas

Question

Estoy mirando una probabilidad de ruptura de lowball manos (menor $5$ cartas distintas, $12345$ ser el mejor) aquí: http://www.durangobill.com/LowballPoker/Lowball_Poker_7_cards.html

El sitio web enumera el número total de $5$ manos altas como $781,824$. El uso de una baraja estándar, pensé que la metodología de contabilización sería $(4C_1)^5 \cdot (47C_2)$. Este sobreestima la cantidad de manos sin embargo. ¿Por qué no es la forma correcta para contar?

Answer 1

Estás doble (y triple y cuádruple) contar porque a veces uno o ambos de los $2$ tarjetas que usted elija de $47$ son inferiores a 6.

Por ejemplo, la mano que consiste de As a través de 5 de diamantes y el As y el 2 de corazones se contaba con 4 veces.

La mano que consiste de As a través de 5 de picas más los Ases rojos contados a 3 veces.

La mano que consta de 2 black Aces y el 2 hasta el 6 de corazones se cuentan dos veces.

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Para establecer esta arriba a la derecha, vamos a la partición de las tarjetas: 20 tarjetas son de menos de 6, 32 cartas son de 6 o más.

Primero vamos a contar todas las manos que no necesitan el doble de recuento o la mitad de recuento:

$${4 \choose 1}^5{32\choose2}$$

La próxima vamos a abordar las manos con 2 de cierto valor por debajo de 6 (el valor se duplicó es elegido de entre cinco posibles valores):

$${5\choose1}{4\choose2}{4\choose1}^4{32\choose1}$$

Ahora vamos a abordar las manos con 3 de cierto valor por debajo de 6 (nota 32 elegir 0 incluido para la integridad):

$${5\choose1}{4\choose3}{4\choose1}^4{32\choose0}$$

Ahora vamos a abordar las manos con 2 valores distintos por debajo de 6 por que hay 2 tarjetas:

$${5\choose2}{4\choose2}^2{4\choose1}^3{32\choose0}$$

La adición de estas cifras, obtenemos 781824, tal como indicado en la página que enlaza.

Answer 2

Las otras respuestas han explicado por qué su solución overcounts, y derivado de la respuesta correcta ad hoc métodos. Aquí es una solución de uso de la en-y-fuera de la fórmula. El número de $7$-manos de la tarjeta que contiene una "rueda" (as-a-cinco) es $$\binom50\binom{52}7-\binom51\binom{48}7+\binom52\binom{44}7-\binom53\binom{40}7+\binom54\binom{36}7-\binom55\binom{32}7=\boxed{781824}\ ;$$

$\binom50\binom{52}7$ es el número total de $7$-tarjeta de las manos;

$\binom51\binom{48}7$ es el número de maneras que usted puede elegir un rango bajo y un $7$-tarjeta de mano sin cartas de ese rango;

$\binom52\binom{44}7$ es el número de maneras que usted puede elegir dos rangos inferiores y un $7$-tarjeta de mano excluyendo ambos de las filas, y así sucesivamente.

Answer 3

El recuento puede ser organizado de la siguiente manera . . .

Si el grado es en la mayoría de las $5$, llamar a un bajorango.

Si la mano contiene las filas $1,2,3,4,5$, se bajala mano.

Vamos

$\;\;{\small{\bullet}}\;\;x_0$ el número de manos bajas con ninguna de bajo rango duplicado.

$\;\;{\small{\bullet}}\;\;x_1$ el número de manos bajas con exactamente un rango bajo duplicado.

$\;\;{\small{\bullet}}\;\;x_2$ el número de manos bajas con dos filas duplicadas.

$\;\;{\small{\bullet}}\;\;x_3$ el número de manos bajas con algunos de bajo rango triplicado.

Entonces

$x_0 = {\large{{\binom{4}{1}}^5\binom{32}{2}}}=507904$.

$\qquad$Explicación:

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el $5$ rango bajo de las tarjetas: $\;{\binom{4}{1}}^5\;$opciones.

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el $2$ restante a las cartas, no de rango bajo: $\;{\binom{32}{2}}\;$opciones.

$x_1 = {\large{\binom{5}{1}\binom{4}{2}{\binom{4}{1}}^4\binom{32}{1}}}=245760$.

$\qquad$Explicación:

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el duplicado del rango bajo: $\;\binom{5}{1}\;$opciones.

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el $2$ tarjetas para ese rango: $\;\binom{4}{2}\;$opciones

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elige la $4$ rango bajo de las tarjetas: $\;{\binom{4}{1}}^4\;$opciones.

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el resto de la tarjeta, no de rango bajo: $\;\binom{32}{1}\;$opciones.

$x_2 = {\large{\binom{5}{2}{\binom{4}{2}}^2{\binom{4}{1}}^3}}=23040$.

$\qquad$Explicación:

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el $2$ duplicado de bajos rangos: $\;\binom{5}{2}\;$opciones.

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el $2$ tarjetas para cada uno de los rangos: ${\;\binom{4}{2}}^2\;$opciones

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elige la $3$ rango bajo de las tarjetas: $\;{\binom{4}{1}}^3\;$opciones.

$x_3 = {\large{\binom{5}{1}\binom{4}{3}{\binom{4}{1}}^4}}=5120$.

$\qquad$Explicación:

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el triplicado de bajo rango: $\;\binom{5}{1}\;$opciones.

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elegir el $3$ tarjetas para ese rango: $\;\binom{4}{3}\;$opciones

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$Elige la $4$ rango bajo de las tarjetas: $\;{\binom{4}{1}}^4\;$opciones.

A continuación, el número total de manos bajas es $$x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = 507904 + 245760 + 23040 + 5120 = 781824$$ En su cuenta de$\;{\large{{\binom{4}{1}}^5\binom{47}{2}}}=1106944$,

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$$x_0$- Tipo de mano fue contabilizado correctamente.

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$$x_1$- Tipo de mano se contó $2$ veces.

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$$x_2$- Tipo de mano se contó $4$ veces.

$\qquad{\small{\bullet}}\;\;$$x_3$- Tipo de mano se contó $3$ veces.

Como una verificación:

$$x_0 + 2x_1 + 4x_2+3x_3 = 507904 + (2)(245760) + (4)(23040) + (3)(5120) = 1106944$$ que fue el recuento obtenido.