Intervalo de predicción para mi viaje en bus

Question

Puedo tomar el autobús para ir a trabajar y estoy tratando de hacer un intervalo de predicción para el tiempo de viaje al trabajo para que yo pueda salir de la casa y estar 99% seguro de que voy a llegar a tiempo al trabajo. El viaje consta de 2 partes.

1. Esperando el autobús, el autobús es el propósito de llegar cada 10 minutos, pero debido al tráfico este varía un poco. Voy a suponer que el tiempo de espera sigue una distribución exponencial con una tasa de 0,1 autobuses por minuto. Yo llamo a esta variable X.

2. El tiempo de permanencia en el autobús, voy a suponer que este sigue una distribución normal. He tomado algunas muestras y han encontrado que la media será de 53 minutos y la desviación estándar de 2,4 minutos. El intervalo de confianza de la media es bastante pequeño en comparación con el total de tiempo de viaje por lo que es correcto asumir que la media de población es igual a la media de la muestra. Yo llamo a esta variable Y.

Así que estoy tratando de crear un intervalo de predicción para el tiempo total de Z que es la suma de una normal y una exponencial de la variable aleatoria. Z=X+Y. ¿Cómo puedo hacer esto?

Con la información que yo tengo de conocer las funciones de densidad de probabilidad son:

$f(x)=0.1e^{-0.1x}$

$g(y)=1.7\times 10^{-110} e^{9.471y-0.0893y^2}$

No me importa si tengo que usar de integración numérica, pero no estoy seguro de cómo configurar la integral cuando hay varias variables.

Answer 1

No establece explícitamente en su pregunta si está preparado para asumir la independencia de los dos tiempos, pero algunas cosas acerca de la manera en la que escribió su pregunta, no parecen sugerir. No estoy del todo seguro de que es una suposición razonable, ya que si el tráfico se vuelve "malo", el promedio de espera y el promedio de viaje será más largo, en ambos casos debido a que los autobuses se tienden a retrasarse.

Sin embargo, he escrito el resto de esto, bajo el supuesto de que la intención de la pregunta para aplicar a la situación en la que son independientes.

La convolución de una normal y una exponencial tiene lo que se llama a veces de una manera Exponencial modificada de Gauss (ExGaussian) de distribución.

Algunos ExGaussians están sesgadas, otros son casi normales.

Con su particular parámetros, la distribución de la suma no es muy cercano a lo normal. He aquí un histograma de los valores simulados (100.000) para la suma:

La media y la varianza de la suma es fácil - la media es la suma de los medios, y para las variables independientes, la varianza es la suma de las desviaciones; pero esto no es de mucho uso para obtener el percentil 99.

Por cierto, la misma simulación de arriba se puede obtener una buena estimación del percentil 99:

Los resultados de cinco simulaciones (de 1.000.000 de valores de $X+Y$ cada uno) dar 99.31, 99.23, 99.20, 99.26, 99.45 minutos respectivamente; si necesita más precisión, más simulaciones sería necesario, o en realidad encontrar el argumento de la CDF que da 0.99 (el CDF es dado en el enlace a la ExGaussian me dio más arriba).

Un poco de ensayo y error con que CDF da el valor 99.34 minutos para el percentil 99, que parece ser coherente con las simulaciones (y viceversa).

(Si usted permite que incluso para algunos positiva leve dependencia entre los dos tiempos, que va a ir a más de 100 minutos).

Answer 2

Como se indicó anteriormente por Glen_b, 99,34 minutos es el percentil 99.

A continuación se presentan los density(PDF) y parcelas de distribución acumulativa (CDF) y una tabla de valores de la CDF de la distribución combinada.