encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva$y=\sqrt{x}$ en el punto$(1,1)$

Question

Hola chicos tengo una tarea cuestión de que una vez más me ha sorprendido. Tengo una menos amable profesor que piensa que todos sus estudiantes que van a ser el próximo Isaac Newton y ella apenas explica nada. Así que aquí está mi pregunta.

a partir de la lectura de mi libro aparece que tengo dos opciones. la fórmula 1 dice $$ \lim_{x\to a }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ y el segundo dice $$ \lim_{h\to 0 }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

so i tried to use formula 2 to solve this problem

FIND The equation of the tangent line to the curve at the given point.

$$ \sqrt{x},$$ $$ (1,1)$$

paso - 1 $$ \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$ paso -2 $$\frac{\sqrt{1+h} - 1}{h}$$ paso -3 utiliza el conjugado pair para venir para arriba con $$\frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} * \frac{\sqrt{1+h} + 1}{\sqrt{1+h} + 1} $$ paso -4 el resultado de la anterior iba a terminar con $$ \frac{1+h-1}{h\sqrt{1+h}}$$ paso 5 $$\frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$$

however the answer is $ \frac{1}{2}$ no puedo ver lo que estoy haciendo mal y cuándo se debe utilizar la primera fórmula y ¿cuándo debo usar la segunda fórmula? cualquier ayuda en la respuesta a esta pregunta, sería muy apreciada. Gracias Miguel

Answer 1

Perdiste uno yendo del paso 3 al paso 4. Más exactamente:

$$ \ frac {\ sqrt {1 + h} - 1} {h} \ frac {\ sqrt {1 + h} + 1} {\ sqrt {1 + h} {\ bf + 1}} = \ frac {1 + h - 1} {h (\ sqrt {1 + h} {\ bf + 1})} $$

Answer 2

En el paso 4 dejó un$+1$ en un factor en el denominador. Debería ser $\displaystyle\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}$. Entonces$$\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}={1\over 2}.$ $

Answer 3

Consulte el paso 4. Debería agregar un término adicional en el denominador.

Answer 4

La respuesta de NS mostró un problema que va del paso 3 al paso 4. Pasar del paso 4 al paso 5 (usando su paso 4) debe decir$\frac {1+h-1}{h\sqrt{1+h}}=\frac h{h\sqrt{1+h}}=\frac 1{\sqrt{1+h}}$ La multiplicación por el conjugado fue el enfoque correcto para deshacerse de la $\frac 00$. Si las combina y toma el límite$h \to 0$, encontrará la pendiente correcta de$\frac 12$