Es $g(u)= \frac{E [ \frac{1}{\sqrt{X}} e^{-\frac{a^2u^2}{2X}} ] }{E [ \frac{1}{\sqrt{X}} e^{-\frac{u^2}{2X}} ]}$ disminuyendo en $u$

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria positiva, definamos una función \begin {alinear} g(u,a)= \frac {E \left [ \frac {1}{ \sqrt {X}} e^{- \frac {a^2u^2}{2X}} \right ] }{E \left [ \frac {1}{ \sqrt {X}} e^{- \frac {u^2}{2X}} \right ]}. \end {align}

Pregunta: ¿Podemos demostrar que la integral anterior es monotónicamente decreciente en $u$ ( para $u>0$ ) para todos $a > 1$ .

Tenga en cuenta que $X$ aquí representa la varianza de la normal estándar. Es decir, consideramos la varianza como una variable aleatoria.

Puedo demostrar que $g(u,a)$ está limitada por $1$ y continua pero no puede establecer que sea decreciente. Además, hay que tener en cuenta que la función $g(u,a)$ es simétrica en torno a $u=0$ .

Lo que he probado:

Pude demostrar que para $p,q\ge 1$ y $\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$ y $a^2 \ge \frac{1}{p}$ tenemos \begin {alinear} g(u,a) \le \left ( g( \beta \cdot u, a ) \right )^{ \frac {1}{q}}, \end {align}

donde $\beta=\sqrt{\frac{q(a^2-\frac{1}{p})}{a^2}}$ .

Prueba: Utilizando la desigualdad de Holder \begin {align} E \left [ \frac {1}{ \sqrt {X}} e^{- \frac {a^2u^2}{2X}} \right ] &=E \left [ \frac {1}{ \sqrt {X}} e^{- \frac { (a^2- \frac {1}{p})u^2}{2X}} e^{- \frac { \frac {1}{p}u^2}{2X}} \right ] \\ & \le E^ \frac {1}{q} \left [ \frac {1}{ \sqrt {X}} e^{- \frac { q(a^2- \frac {1}{p})u^2}{2X}} \right ] E^ \frac {1}{p} \left [ \frac {1}{ \sqrt {X}} e^{- \frac { u^2}{2X}} \right ]. \end {align} Por lo tanto, \begin {alinear} g(u,a) \le \left ( \frac {E \left [ \frac {1}{ \sqrt {X}} e^{- \frac {q(a^2- \frac {1}{p})u^2}{2X}} \right ] }{E \left [ \frac {1}{ \sqrt {X}} e^{- \frac {u^2}{2X}} \right ]} \right ) ^ \frac {1}{q} &= \left ( g( \beta \cdot u, a ) \right )^{ \frac {1}{q}}, \end {align} y

\begin {alinear} g(u,a) \le \left ( g( \beta \cdot u, a ) \right )^{ \frac {1}{q}}, \end {align}

donde $\beta=\sqrt{\frac{q(a^2-\frac{1}{p})}{a^2}}$ . Gracias. Estoy deseando ver sus planteamientos.

Answer 1

Si por "decrecimiento monótono" se entiende decrecimiento para $u \in (-\infty, \infty)$ entonces la respuesta es trivialmente no: $g$ es una función par en $u$ en los reales, por lo que o es constante o tiene un extremo local. Y ya podemos decir intuitivamente que $g$ no es constante.

Answer 2

Esto es falso en general.

Cambia las variables como en mi comentario: $1/(2X) \to X$ , $a^2 \to a$ , $u^2 \to u$ . Entonces el problema es demostrar que $$ f(u) = \frac{\mathsf{E}[\sqrt{X}e^{-auX}]}{\mathsf{E}[\sqrt{X}e^{-uX}]}. $$ disminuye.

Establecer $a=1.1$ y que $X=1$ o $100$ con probabilidad $1/2$ . Entonces $$ f(u) = \frac{e^{-1.1u} +10e^{-110u}}{e^{-u} +10e^{-100u}}. $$ Sin embargo, no es decreciente para valores pequeños de $u$ : Wolfram Alpha