Ecuación de onda de primer orden: ¿Por qué no es común su presencia?

Question

El (unidimensional) ecuación de onda es la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\tag{second order PDE}$$ que admite como soluciones funciones $f$ de la forma $$f=f(x\pm vt),\tag{solution}$$ como se puede comprobar de forma sencilla. Estas soluciones tienen una interpretación conveniente que justifica la frase ecuación de onda.

Me he dado cuenta de que hay de primer orden ecuaciones diferenciales parciales que tienen como soluciones funciones de la forma $f(x\pm vt)$ : $$\frac{\partial f}{\partial x}=\pm\frac{1}{v}\frac{\partial f}{\partial t}\tag{first order PDE}.$$

Una rápida búsqueda en Google muestra que, efectivamente, se llama ecuación de onda de primer orden, pero suele aparecer en el contexto de las clases de matemáticas.

Así que ahora la pregunta:

¿Por qué se favorece la EDP de segundo orden habitual frente a estas de primer orden si ambas admiten las mismas soluciones? ¿Hay alguna razón física? ¿Son estas ecuaciones de primer orden útiles por sí mismas?

Tal vez hay otras soluciones que uno admite que no se desea, o tal vez sólo se ve más limpio ya que uno no tiene que llevar alrededor de la $\pm$ en la ecuación diferencial.

Answer 1

La ecuación de onda de primer orden no tiene nada de malo desde el punto de vista matemático, pero es un poco aburrida. Si quieres usar esta ecuación para describir ondas, básicamente equivale a tener un sólido 1d con velocidad del sonido $v$ para las ondas que se mueven a la izquierda (digamos) y la velocidad del sonido $0$ para las olas que se mueven a la derecha. No me sorprendería que se pudiera construir algo así (habría que introducir algunos campos externos para romper la invariancia temporal) pero es un sistema muy especial que no nos interesa genéricamente.

Tomemos las transformadas de Fourier de ambas ecuaciones para obtener las relaciones de dispersión. La ecuación normal de segundo orden da \begin{equation} \omega^2=v^2 k^2 \end{equation} Así que para cada frecuencia $\omega$ hay dos valores permitidos de $k$ correspondientes a las ondas que se mueven a la derecha y a la izquierda. Nótese que si generalizamos la ecuación de segundo orden para incluir más direcciones espaciales, habría un número infinito de $k$ valores.

Mientras tanto, la ecuación de primer orden siempre tiene una solución permitida para una frecuencia determinada \begin{equation} \omega=v k \end{equation} Por lo tanto, tenemos ondas que se mueven a la derecha o a la izquierda, pero no ambas. Esto restringe el comportamiento permitido, no puedes tener ondas estacionarias por ejemplo. Si trato de generalizar a dinensiones más altas, esta ecuación escoge un único comportamiento permitido $k$ para cada frecuencia, por lo que las ondas sólo se propagarán en una dirección muy especial.

Físicamente esto no es lo que normalmente llamaríamos una onda porque sólo necesito una condición inicial, no dos. Normalmente los sistemas dinámicos sólo pueden evolucionar dada su posición y velocidad iniciales, pero la ecuación de primer orden sólo necesita la posición inicial. (O si se quiere, su ecuación no es un sistema hamiltoniano bc el espacio de fase es impar dimensional).

Por último, pero no menos importante, la ecuación de primer orden elige necesariamente un marco preferido. Haciendo un refuerzo puedo cambiar el signo de $v$ Por tanto, la ecuación no es un buen punto de partida para tratar las ondas relativistas, que es una de las principales aplicaciones de la ecuación de onda. (Por supuesto que se pueden tener ondas en materiales que sí eligen un marco preferido, y eso está bien, pero ahí te encuentras con los problemas anteriores de que estás viendo algo con una dirección de movimiento preferida también).

(La ecuación de Dirac evita esto usando repeticiones de espinores del grupo de Lorentz, pero por tu pregunta estoy suponiendo $f$ es un escalar).

Edición: releyendo tu pregunta veo que quieres tener el $\pm$ . Entonces no estás mirando las soluciones de una sola ecuación, estás mirando las soluciones de dos ecuaciones y diciendo que ambas están permitidas. Esto es un poco feo por varias razones. Primero, filosóficamente debería haber una sola ecuación para cualquier sistema. Segundo, las superposiciones no resuelven ninguna de las dos ecuaciones de primer orden por separado, sino que resuelven la ecuación de segundo orden. Tercero, el análogo de tu idea para más dimensiones espaciales es tener un conjunto infinito de ecuaciones de primer orden, una para cada dirección.

Por otro lado, existe una forma de reescribir la ecuación de segundo orden como dos ecuaciones de primer orden de una forma que se generaliza a cualquier dimensión, esta es la forma del Hamiltoniano y de hecho es algo muy útil en muchas situaciones.

Answer 2

Se me ocurren algunas razones:

(1) El sistema de segundo orden es que es reversible en el tiempo. Si se deja $t\to-t$ , se obtiene $$ \frac{\partial^2f}{\partial(-t)^2}=\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2} $$ mientras que el sistema de primer orden tiene $$ \frac{\partial f}{\partial(-t)}=-\frac{\partial f}{\partial t}=\pm v\frac{\partial f}{\partial x} $$ que ahora es un diferentes ecuación por el signo menos.

(2) Superposición. Si $f(x+vt)$ y $f(x-vt)$ son ambas soluciones, entonces $F(x,t)=af(x+vt)+bf(x-vt)$ también es una solución. Insertando esto en la ecuación de segundo orden, $$ \frac{\partial^2F}{\partial t^2}=av^2f(x+vt)+bv^2f(x-vt)\\ v^2\frac{\partial^2F}{\partial x^2}=v^2\left(af(x+vt)+bf(x-vt)\right) $$ y la ecuación de primer orden $$ \frac{\partial F}{\partial t}=avf(x+vt)-bvf(x-vt) \\ \pm v\frac{\partial F}{\partial x}=\pm v\left(af(x+vt)+bf(x-vt)\right) $$ que son resultados diferentes (es decir, la superposición no se mantiene aquí, salvo quizá para casos particulares).

Sin embargo, en términos de resolver tales ecuaciones numéricamente, es mucho más fácil utilizar la ecuación de primer orden porque se requiere menos memoria. Las dos ecuaciones se pueden aproximar mediante la diferencias finitas $$ \frac{f(x,t+dt)+f(x,t-dt)-2f(x,t)}{\Delta t^2}=v^2\frac{f(x+dx,t)+f(x-dx,t)-2f(x,t)}{\Delta x^2} $$ $$ \frac{f(x,t+dt)-f(x,t)}{\Delta t}=\pm v\frac{f(x+dx,t)-f(x-dx,t)}{2\Delta x} $$ La primera ecuación (de segundo orden) requiere almacenar los pasos temporales anteriores, actuales y futuros, mientras que la segunda ecuación (de primer orden) sólo requiere los pasos temporales anteriores.

Answer 3

Una aplicación muy útil de la ecuación de onda de primer orden es la descripción de la propagación de la envolvente lentamente variable de una onda casi sinusoidal.

Supongamos que tenemos una onda que satisface la ecuación de onda de segundo orden que se sabe que es casi sinusoidal, con una envolvente $a$ que varía lentamente tanto en el espacio (con una pequeña variación en una longitud de onda) como en el tiempo (con una pequeña variación en un periodo de oscilación). En el caso de las ondas de luz, por ejemplo, esto se aplica en muchas situaciones, incluso para los campos de luz considerados como "pulsados" o que varían en el tiempo. En notación compleja podemos escribir la onda de propagación positiva o negativa como $$f=ae^{i(\pm kx-\omega t)},$$ con $k$ positivo.

Sustituyendo en la ecuación de onda de segundo orden y tomando $k=\omega/v$ tenemos $$\pm\frac{2i\omega}{v}\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial^2a}{\partial x^2}=-\frac{2i\omega}{v^2}\frac{\partial a}{\partial t}+\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2a}{\partial t^2}.$$ En el marco de la _aproximación de la envolvente de variación lenta_ (SVEA) despreciamos las derivadas de segundo orden respecto a las de primer orden, y nos quedamos con $$\frac{\partial a}{\partial x}=\mp\frac{1}{v}\frac{\partial a}{\partial t},$$ es decir, la ecuación de onda de primer orden.

Esto simplifica en gran medida los cálculos numéricos, especialmente porque la oscilación de alta frecuencia y número de onda relativamente alta en $\omega$ y $k$ se ha eliminado de la consideración explícita.

Answer 4

Las ecuaciones de onda de primer orden son comunes, sólo que la ecuación de onda de primer orden sobre los números reales es muy aburrida. La ecuación de Schrodinger, las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Dirac son todas de primer orden en el tiempo.

El siguiente ejemplo más sencillo es $\frac{\partial f}{\partial t} = i \frac{\partial f}{\partial x}$ . Tomando la derivada del tiempo en ambos lados y reescribiendo utilizando la ecuación original, $\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = i \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial x} = i^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} = - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x}$ . Así, la ecuación de onda de primer orden con coeficiente complejo es equivalente a la ecuación de onda de segundo orden $\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = - \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ . La ecuación de segundo orden necesita 2 condiciones iniciales ( $f(0,x)$ y $\frac{\partial f}{\partial t}(0,x))$ y la ecuación compleja de primer orden también necesita 2 condiciones iniciales (partes real e imaginaria).

Las ecuaciones de Maxwell son directamente análogas a ésta, pero con múltiples dimensiones espaciales, y la ecuación de Dirac también está estrechamente relacionada.