Encontrar la ecuación del círculo con tangente

Question

<blockquote> <p>Escribir la ecuación de círculos de radio $5$ pasa por el origen y que la línea $y= 2x$ como tangente</p> </blockquote> <p>Estuve probando esta pregunta muchas veces, pero no pude encontrarlo. Estaba tratando de colocar la ecuación del círculo y la ecuación de la tangente, pero no pude conseguirlo.</p> <p>Si alguien me pudiera ayudar quisiera muy agradecido a él.</p> <p>Estaba tomando en el primer cuadrante, pero todavía no pude conseguir.</p>

Answer 1

Que $A(a,b)$ sea un centro del círculo.

Así, $a^2+b^2=25$ y $\frac{b-0}{a-0}\cdot2=-1$,

que da % o $A(-2\sqrt5,\sqrt5)$ $A(2\sqrt5,-\sqrt5)$y el resto para usted.

Answer 2

Obviamente la tangente $y = 2x$ resuelve el círculo en el punto $(0,0)$. Considere la línea $l$ a través del centro del círculo y el punto $(0,0)$. Esta línea es perpendicular a la tangente.

Así es el pendiente de $l$ $-\frac 1 2$ y como contiene $(0,0)$ obtenemos que $l = { - \frac 1 2 x | x \in \mathbb R}$. Para obtener los correspondientes centros, sólo tienes que seguir esta línea de 5 unidades en uno de cada dirección.

Answer 3

La ecuación del círculo puede ser escrita como %#% $ #%

WLOG $$(x-a)^2+(y-b)^2=5^2$

Ahora, $a=5\cos t, b=5\sin t$ es una tangente, $y=2x$radio $\implies$ la distancia desde el centro

$=$$

$$5=\dfrac{|2(5\cos t)-5\sin t|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$$

$$\iff|2\cos t-\sin t|=\sqrt5$$

$$\iff\left|\cos\left(t+\arccos\dfrac2{\sqrt5}\right)\right|=1$$

$$\iff\sin\left(t+\arccos\dfrac2{\sqrt5}\right)=0$$

Answer 4

Desde $y=2x$ y el círculo tangente pasan por el origen, se pueden dibujar dos círculos en lados opuestos de la línea.

El círculo con el centro en el origen y radio $5$ a pasar a través de los centros de los dos círculos: $$(x-0)^2+(y-0)^2=5^2 \ \ (1)$ $

También la línea perpendicular a $y=2x$ pasará a través de los centros de los dos círculos: $$y=-\frac{1}{2}x \ \ (2)$ $

Por lo tanto la intersección puntos de $(1)$ y $(2)$ serán los centros de los dos círculos: $$(x_1,y_1)=(-2\sqrt{5},\sqrt{5}); \ (x_2,y_2)=(2\sqrt{5}, -\sqrt{5}).$ $

Answer 5

Considerar los degenerados un círculo con centro en a $(0;\;0)$ y radio de $r=0$ tener ecuaciones $x^2+y^2=0$ y los degenerados un círculo con la ecuación de la recta tangente a $2x-y=0$. La solicitada círculo es una combinación lineal de los dos y su ecuación tiene la forma

$x^2+y^2+k(2x-y)=0$

$x^2+y^2+2kx-ky=0$

que representa la ecuación general de todos los círculos que pasa a través de $O$ y no se tangente a la línea de $y=2x$

tienen centro de la $C_k\left(-k;\;\dfrac{k}{2}\right)$ y radio de $r_k=\sqrt{k^2+\dfrac{k^2}{4}}$

La solicitud es encontrar los círculos con un radio de $r=5$, por lo que podemos resolver

$\sqrt{k^2+\dfrac{k^2}{4}}=5\to k_1= -2 \sqrt{5},k_2=\sqrt{5}$

Por lo tanto, hay dos círculos

$$x^2+y^2 -2 \sqrt{5}(2x-y)=0;\;x^2+y^2 +2 \sqrt{5}(2x-y)=0$$