$a^2 + b^2$ nunca sale resto $3$ cuando se divide por $4$

Question

Ya hicieron algo parecido que para demostrar que el cuadrado de un número Siempre deja resto $1$ cuando se divide por $8$, en el que he utilizado de inducción para llegar al resultado.

Sin embargo, no sé cómo usar la inducción de suponer que no deja un resto $3$, y luego probarlo.

Podría alguien ayudarme?

Answer 1

SUGERENCIA:

Como integer $c\equiv0,1,2,3\pmod 4;c^2\equiv0,1$

Así que ¿cuáles son los posibles valores de $a^2+b^2\pmod4$ donde $a,b$ son cualquier enteros?

Answer 2

Algunos problemas sencillos que son simplemente demasiado divertido para pasar!

Laudes a las pruebas de laboratorio bhattacharee para la presentación de la más o menos estándar, que esencialmente se encuentra en la homomorphism $\pi: \Bbb Z \to \Bbb Z/4 \Bbb Z$ asignación de cualquier $n \in \Bbb Z$ a la coset $\bar n = n + 4\Bbb Z$. Por supuesto, la técnica funciona por el hecho de la $\pi$ conserva sumas y productos, y el hecho de que $c^2 = 0, 1$$c \in \Bbb Z/4\Bbb Z$.

Aquí está la manera que utiliza para resolver estas cosas en la escuela secundaria, antes de que yo sabía mucho sobre anillos conmutativos, homomorphisms, $\Bbb Z / n\Bbb Z$ y como:

Tres casos:

$a, b \; \text{both even}; \tag{1}$

$a, \; \text{even}, \; b \; \text{odd}; \tag{2}$

$a, b \; \text{both odd}; \tag{3}$

de curso (2) cubre el caso en el $a$ impar, $b$, aun así. Luego de (1) podemos escribir

$a = 2n, b = 2m; \; m, n \in \Bbb Z, \tag{4}$

de dónde

$a^2 = 4n^2, b^2 = 4m^2, \tag{5}$

de dónde

$a^2 + b^2 = 4(n^2 + m^2); \tag{6}$

en el caso (2):

$a = 2n + 1, b = 2m, \tag{7}$

de dónde

$a^2 = 4n^2 + 4n + 1, b = 4m^2, \tag{8}$

de dónde

$a^2 + b^2 = 4(n^2 + m^2 + n) + 1; \tag{9}$

caso (3):

$a = 2n + 1, b = 2m + 1, \tag{10}$

de dónde

$a^2 = 4n^2 + 4n + 1, b^2 = 4m^2 + 4m + 1, \tag{11}$

de dónde

$a^2 + b^2 = 4(n^2 + m^2 + n + m) + 2; \tag{12}$

así vemos que los restos al dividir $a^2 + b^2$ $4$ debe residir siempre en el conjunto de $\{0, 1, 2 \}$. QED!!!

Ahora que es lo que yo llamo verdaderamente elementales de la teoría de números!